题目列表(包括答案和解析)
已知数列的前
项和为
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通项公式;
(Ⅱ) 设 (
N*).
①证明: ;
② 求证:.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式,表示通项公式,然后得到第一问,第二问中利用放缩法得到
,②由于
,
所以利用放缩法,从此得到结论。
解:(Ⅰ)当时,由
得
. ……2分
若存在由
得
,
从而有,与
矛盾,所以
.
从而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明:
证法一:∵∴
∴
∴.…………10分
证法二:,下同证法一.
……10分
证法三:(利用对偶式)设,
,
则.又
,也即
,所以
,也即
,又因为
,所以
.即
………10分
证法四:(数学归纳法)①当时,
,命题成立;
②假设时,命题成立,即
,
则当时,
即
即
故当时,命题成立.
综上可知,对一切非零自然数,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
从而.
也即
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
,
则,即
.不防设
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)证明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如图,作于点H,连接DH.由
,
,可得
.
因此,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD
平面PAC,
而平面PAC,所以
.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而
.
由BD平面PAC,
平面PAC,知
.在
中,由
,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,
,所以
均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为
于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为
.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD
平面PAC,所以
是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由
算得体积
先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知,
,求证
.
证明:构造函数,
因为对一切,恒有
≥0,所以
≤0,从而得
,
(1)若,
,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.
先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知,
,求证
.
证明:构造函数,
因为对一切,恒有
≥0,所以
≤0,从而得
,
(1)若,
,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.
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