题目列表(包括答案和解析)
解:(Ⅰ)设:
,其半焦距为
.则
:
.
由条件知,得
.
的右准线方程为
,即
.
的准线方程为
.
由条件知, 所以
,故
,
.
从而:
,
:
.
(Ⅱ)由题设知:
,设
,
,
,
.
由,得
,所以
.
而,由条件
,得
.
由(Ⅰ)得,
.从而,
:
,即
.
由,得
.所以
,
.
故.
已知m>1,直线,椭圆C:
,
、
分别为椭圆C的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,△A、△B
的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.[
【解析】第一问中因为直线经过点
(
,0),所以
=
,得
.又因为m>1,所以
,故直线的方程为
第二问中设,由
,消去x,得
,
则由,知
<8,且有
由题意知O为的中点.由
可知
从而
,设M是GH的中点,则M(
).
由题意可知,2|MO|<|GH|,得到范围
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
,
则,即
.不防设
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)证明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如图,作于点H,连接DH.由
,
,可得
.
因此,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
已知是等差数列,其前n项和为Sn,
是等比数列,且
,
.
(Ⅰ)求数列与
的通项公式;
(Ⅱ)记,
,证明
(
).
【解析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列
的公比为q.
由,得
,
,
.
由条件,得方程组,解得
所以,
,
.
(2)证明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:数学归纳法)
① 当n=1时,,
,故等式成立.
② 假设当n=k时等式成立,即,则当n=k+1时,有:
即,因此n=k+1时等式也成立
由①和②,可知对任意,
成立.
甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数,
,及任意的
,当甲公司投入
万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于
万元,则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投入
万元作宣传时,甲公司投入的宣传费若小于
万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险. 设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元,建立如图直角坐标系,试回答以下问题:
(1)请解释;
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少宣传费?
(3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少投入费用原则,投入自己的宣传费:若甲先投入万元,乙在上述策略下,投入最少费用
;而甲根据乙的情况,调整宣传费为
;同样,乙再根据甲的情况,调整宣传费为
如此得当甲调整宣传费为
时,乙调整宣传费为
;试问是否存在
,
的值,若存在写出此极限值(不必证明),若不存在,说明理由.
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