题目列表(包括答案和解析)
已知函数,
(1)求函数的定义域;
(2)求函数在区间
上的最小值;
(3)已知,命题p:关于x的不等式
对函数
的定义域上的任意
恒成立;命题q:指数函数
是增函数.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.
【解析】第一问中,利用由 即
第二问中,,
得:
,
第三问中,由在函数的定义域上
的任意
,
,当且仅当
时等号成立。当命题p为真时,
;而命题q为真时:指数函数
.因为“p或q”为真,“p且q”为假,所以
当命题p为真,命题q为假时;当命题p为假,命题q为真时分为两种情况讨论即可 。
解:(1)由 即
(2),
得:
,
(3)由在函数的定义域上
的任意
,
,当且仅当
时等号成立。当命题p为真时,
;而命题q为真时:指数函数
.因为“p或q”为真,“p且q”为假,所以
当命题p为真,命题q为假时,
当命题p为假,命题q为真时,,
所以
设f (x)=sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x),其中x∈R.
(Ⅰ) 该函数的图象可由
的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?
(Ⅱ)若f (θ)=,其中
,求cos(θ+
)的值;
【解析】第一问中,
即变换分为三步,①把函数
的图象向右平移
,得到函数
的图象;
②令所得的图象上各点的纵坐标不变,把横坐标缩短到原来的倍,得到函数
的图象;
③令所得的图象上各点的横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象;
第二问中因为,所以
,则
,又
,
,从而
进而得到结论。
(Ⅰ) 解:
即。…………………………………3分
变换的步骤是:
①把函数的图象向右平移
,得到函数
的图象;
②令所得的图象上各点的纵坐标不变,把横坐标缩短到原来的倍,得到函数
的图象;
③令所得的图象上各点的横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象;…………………………………3分
(Ⅱ) 解:因为,所以
,则
,又
,
,从而
……2分
(1)当时,
;…………2分
(2)当时;
先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
已知
证明:构造函数
即
因为对一切,恒有
,所以
从而得
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述问题的推广式.
(2)对推广的问题加以证明.
已知函数,
.
(Ⅰ)若函数依次在
处取到极值.求
的取值范围;
(Ⅱ)若存在实数,使对任意的
,不等式
恒成立.求正整数
的最大值.
【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。
第二问中,利用存在实数,使对任意的
,不等式
恒成立转化为
,恒成立,分离参数法求解得到范围。
解:(1)
①
(2)不等式 ,即
,即
.
转化为存在实数,使对任意的
,不等式
恒成立.
即不等式在
上恒成立.
即不等式在
上恒成立.
设,则.
设,则
,因为
,有
.
故在区间
上是减函数。又
故存在,使得
.
当时,有
,当
时,有
.
从而在区间
上递增,在区间
上递减.
又[来源:]
所以当时,恒有
;当
时,恒有
;
故使命题成立的正整数m的最大值为5
已知函数的最小值为0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的有
≤
成立,求实数
的最小值;
(Ⅲ)证明(
).
【解析】(1)解:
的定义域为
由,得
当x变化时,,
的变化情况如下表:
x |
|
|
|
|
- |
0 |
+ |
|
|
极小值 |
|
因此,在
处取得最小值,故由题意
,所以
(2)解:当时,取
,有
,故
时不合题意.当
时,令
,即
令,得
①当时,
,
在
上恒成立。因此
在
上单调递减.从而对于任意的
,总有
,即
在
上恒成立,故
符合题意.
②当时,
,对于
,
,故
在
上单调递增.因此当取
时,
,即
不成立.
故不合题意.
综上,k的最小值为.
(3)证明:当n=1时,不等式左边==右边,所以不等式成立.
当时,
在(2)中取,得
,
从而
所以有
综上,,
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