题目列表(包括答案和解析)
已知m>1,直线,椭圆C:,、分别为椭圆C的左、右焦点.
(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.[
【解析】第一问中因为直线经过点(,0),所以=,得.又因为m>1,所以,故直线的方程为
第二问中设,由,消去x,得,
则由,知<8,且有
由题意知O为的中点.由可知从而,设M是GH的中点,则M().
由题意可知,2|MO|<|GH|,得到范围
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,于是,所以
(2) ,设平面PCD的法向量,
则,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.
因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值为.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问,利用函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值,且在x=0处的切线的斜率为-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中设切点为(x0,x03-3x0),因为过点A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分离参数∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函数求导数,判定单调性,从而得到要是有三解,则需要满足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依题意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)设切点为(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切线方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切线过点A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
则g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)单调递减,(0,2)单调递增,(2,+∞)单调递减.
∴g(x)极小值=g(0)=-6,g(x)极大值=g(2)=2
画出草图知,当-6<m<2时,m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范围是(-6,2).
先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
已知a1、a2∈R,a1+a2=1,求证≥.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2
则
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,
所以≤0,
从而得≥.
(Ⅰ)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式;
(Ⅱ)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.
已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,.
(Ⅰ)求数列与的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明().
【解析】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.
由,得,,.
由条件,得方程组,解得
所以,,.
(2)证明:(方法一)
由(1)得
①
②
由②-①得
而
故,
(方法二:数学归纳法)
① 当n=1时,,,故等式成立.
② 假设当n=k时等式成立,即,则当n=k+1时,有:
即,因此n=k+1时等式也成立
由①和②,可知对任意,成立.
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