题目列表(包括答案和解析)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,于是,所以
(2) ,设平面PCD的法向量,
则,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.
因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值为.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积
C | 0m |
C | rn-m |
C | 1m |
C | r-1n-m |
C | rm |
C | 0n-m |
C | rn |
| ||||
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| ||||||||||||
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C | 0m |
C | rn-m |
C | 1m |
C | r-1n-m |
C | rm |
C | 0n-m |
C | rn |
C | 0 m |
C | r n-m |
C | 1 m |
C | r-1 n-m |
C | r m |
C | 0 n-m |
C | r n |
| ||||
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| ||||||||||||
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C | 0 m |
C | r n-m |
C | 1 m |
C | r-1 n-m |
C | r m |
C | 0 n-m |
C | r n |
如图,,,…,,…是曲线上的点,,,…,,…是轴正半轴上的点,且,,…,,… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形(为坐标原点).
(1)写出、和之间的等量关系,以及、和之间的等量关系;
(2)求证:();
(3)设,对所有,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】第一问利用有,得到
第二问证明:①当时,可求得,命题成立;②假设当时,命题成立,即有则当时,由归纳假设及,
得
第三问
.………………………2分
因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即
解:(1)依题意,有,,………………4分
(2)证明:①当时,可求得,命题成立; ……………2分
②假设当时,命题成立,即有,……………………1分
则当时,由归纳假设及,
得.
即
解得(不合题意,舍去)
即当时,命题成立. …………………………………………4分
综上所述,对所有,. ……………………………1分
(3)
.………………………2分
因为函数在区间上单调递增,所以当时,最大为,即
.……………2分
由题意,有. 所以,
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