题目列表(包括答案和解析)
已知函数的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求在区间
上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数,曲线
上是否存在两点P、Q,使得
是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上?说明理由.
【解析】第一问当时,
,则
。
依题意得:,即
解得
第二问当时,
,令
得
,结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定,得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在
轴两侧。
不妨设,则
,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
(Ⅰ)当时,
,则
。
依题意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①当时,
,令
得
当变化时,
的变化情况如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
|
又,
,
。∴
在
上的最大值为2.
②当时,
.当
时,
,
最大值为0;
当时,
在
上单调递增。∴
在
最大值为
。
综上,当时,即
时,
在区间
上的最大值为2;
当时,即
时,
在区间
上的最大值为
。
(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求,则点P、Q只能在
轴两侧。
不妨设,则
,显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点P、Q;
若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点P、Q.
若,则
代入(*)式得:
即,而此方程无解,因此
。此时
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,则
∴在
上单调递增, ∵
∴
,∴
的取值范围是
。
∴对于,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。
因此,对任意给定的正实数,曲线
上存在两点P、Q,使得
是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在
轴上
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