已知正数数列{a_n }中，a₁ =2.若关于x的方程 （）对任意自然数n都有相等的实根．

(1)求a₂ ,a₃的值；

(2)求证

【解析】(1)中由题意得△，即,进而可得,. 

(2)中由于，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，利用裂项求和得到不等式的证明。

(1)由题意得△，即,进而可得   

(2)由于，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是

,

所以

 

某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金

b

n

元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金．
（1）设a_k（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k（不必证明）；
（2）证明：a_k＞a_k+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
（3）发展基金与n和b有关，记为P_n（b）．对常数b，当n变化时，求

lim

n→∞

P_n（b）（可用公式

lim

n→∞

（1-

1

n

）ⁿ=

1

e

）．

“已知：中，，求证：”。下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：

（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾，；

（2）所以；

（3）假设；

（4）那么，由，得，即

这四个步骤正确的顺序应是

A．（1）（2）（3）（4） B．（3）（4）（2）（1）  C．（3）（4）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1）

 

已知函数的最小值为0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的有≤成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明（）.

【解析】(1)解： 的定义域为

由，得

当x变化时，，的变化情况如下表：

x
	-	0	+
		极小值

因此，在处取得最小值，故由题意，所以

（2）解：当时，取，有，故时不合题意.当时，令，即

令，得

①当时，，在上恒成立。因此在上单调递减.从而对于任意的，总有，即在上恒成立，故符合题意.

②当时，，对于，，故在上单调递增.因此当取时，，即不成立.

故不合题意.

综上，k的最小值为.

（3）证明：当n=1时，不等式左边==右边，所以不等式成立.

当时，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

从而

所以有

     

     

     

     

      

综上，，

 

已知函数，数列的项满足： ，（1）试求

（2） 猜想数列的通项，并利用数学归纳法证明.

【解析】第一问中，利用递推关系,

,   

第二问中，由（1）猜想得：然后再用数学归纳法分为两步骤证明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（数学归纳法证明）i) ,  ,命题成立

ii) 假设时，成立

则时，

                              

综合i),ii) : 成立