平面图形ABB₂A₂C₃C如图4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．现将该平面图形分别沿BC和B₁C₁折叠，使△ABC与△A₁B₁C₁所在平面都与平面BB₁C₁C垂直，再分别连接A₂A，A₂B，A₂C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的长；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

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平面图形如图4所示，其中是矩形，，，。现将该平面图形分别沿和折叠，使与所在平面都与平面垂直，再分别连接，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

（Ⅰ）证明：；     
（Ⅱ）求的长；
（Ⅲ）求二面角的余弦值。

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平面图形ABB₂A₂C₃C如图4所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC=，A₁B₁=A₁C₁=．现将该平面图形分别沿BC和B₁C₁折叠，使△ABC与△A₁B₁C₁所在平面都与平面BB₁C₁C垂直，再分别连接A₂A，A₂B，A₂C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的长；
（Ⅲ）求二面角A-BC-A₁的余弦值．

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说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

      2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

      3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分．

9．         10．    11．       12．-1；4     13．

14．1         15.   

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）

解: (1)∵, 且,

     ∴ .                                      

     由正弦定理得.                                       

     ∴.                                     

   (2)∵                                        

     ∴.

     ∴ .                                                       

    由余弦定理得,

∴.     

17．（本小题满分14分）

（本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力）

解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件，“乙射击一次,击中目标”为事件，“甲射击一次,

未击中目标”为事件，“乙射击一次,未击中目标”为事件，

则，.                        

依题意得，                                

        解得.

        故的值为.                                                    

（2）的取值分别为.                                            

，                      

，

，                     

的分布列为

0

2

4

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

 (1) 证明: ∵分别是棱的中点，

         ∴是△的中位线.

         ∴.                              

         ∵平面平面

         ∴平面.                                             

         同理可证 平面.       

∵平面,平面,

∴平面// 平面.                                      

(2) 求三棱锥的体积的最大值, 给出如下两种解法:

解法1: 由已知平面, ,

    ∴.

    ∴三棱锥的体积为

                               .                                 

     当且仅当时等号成立，取得最大值,其值为, 此时.          

解法2：设，在Rt△中，.

      ∴三棱锥的体积为

                                 .   

       ∵,          

     ∴ 当，即时，取得最大值，其值为，此时.

    求二面角的平面角的余弦值, 给出如下两种解法:

 解法1:作,垂足为, 连接.

      ∵ 平面，平面平面,

      ∴ 平面.

      ∵ 平面,     

∴ .

      ∵ ,     

∴ 平面.

∵平面,

      ∴.

     ∴ 是二面角的平面角.                              

     在Rt△中,,

     ∴.

在Rt△中,,

.

∴二面角的平面角的余弦值为.                     

解法2:分别以所在直线为轴, 轴, 轴,建立如图的空间直角坐标系,

     则.

     ∴.  

   设n为平面的法向量,

∴

即

令, 则.

∴为平面的一个法向量.                           

∵平面的一个法向量为,

∴.             

∴二面角的平面角的余弦值为.                        

19．（本小题满分12分）

（本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）

解：（1）生产150件产品，需加工型零件450个，

则完成型零件加工所需时间N，且.   

     （2）生产150件产品，需加工型零件150个，

 则完成型零件加工所需时间N，且.

设完成全部生产任务所需时间为小时，则为与的较大者.

令，即，

解得.                                                       

所以，当时，；当时，.

故.                             

当时，，故在上单调递减，

则在上的最小值为（小时）；                  

 当时，，故在上单调递增，

则在上的最小值为（小时）；            

，

在上的最小值为.

.

答：为了在最短时间内完成生产任务，应取.                        

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）

解：（1）圆， 圆心的坐标为，半径.

∵，

∴点在圆内.                                                   

设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，

即.                                               

∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为

,  则.

∴.

∴所求动圆的圆心的轨迹方程为.                          

 (2)由 消去化简整理得：.

设，，则.

△.  ①                              

由 消去化简整理得：.

设，则,

△.  ②                          

∵，

∴，即，

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

当时,由①、②得  ，

∵Z,

∴的值为 ，，;

当，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴满足条件的直线共有9条．                                            

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查数列的通项公式、数列前项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力）

解: (1) ∵是关于的方程N的两根,

      ∴                                                  

     求数列的通项公式, 给出如下四种解法:                

解法1: 由,得,                  

     故数列是首项为,公比为的等比数列.

∴, 即.                     

解法2: 由,两边同除以, 得,

     令, 则.

故

     .

且也适合上式,

∴, 即.                     

解法3：  由，得，

       两式相减得.

       当为正奇数时,

                       .

       且也适合上式.

       当为正偶数时,

                         .

       且也适合上式.

       ∴ 当N时，.                                   

解法4：由，，得，

.

     猜想.

下面用数学归纳法证明猜想正确.

①     当时,易知猜想成立;

② 假设当N)时,猜想成立,即,

   由,得,

  故当时,猜想也成立.

由①、②得，对任意N，.                

∴