已知集合S_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）对于A=（a₁，a₂，…a_n，），B=（b₁，b₂，…b_n，）∈S_n，定义A与B的差为A-B=（|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，…|a_n-b_n|）；
A与B之间的距离为d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|
（Ⅰ）证明：?A，B，C∈S_n，有A-B∈S_n，且d（A-C，B-C）=d（A，B）；
（Ⅱ）证明：?A，B，C∈S_n，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数
（Ⅲ）设P⊆S_n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为

.

d

(P)．
证明：

.

d

(P)≤

mn

2(m-1)

．

已知集合A={a₁，a₂，…，a_k（k≥2）}，其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P．
（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤

k(k-1)

2

；
（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N^*）．对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P．
（Ⅰ）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x＞9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N^*}是否具有性质P？并说明理由．
（Ⅱ）若n=1000时
①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．