若椭圆E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和椭圆E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1满足

a2

a1

=

b2

b1

=m

(m＞0)

，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点(2，

6

)，且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：

x2

22

+

y2

( 2 )2

=1和C₂：

x2

42

+

y2

(2 2 )2

=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为

x2

32

+

y2

( 3 2 2 )2

=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．

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若椭圆E₁：和椭圆E₂：满足，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：和C₂：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．

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若椭圆E₁：和椭圆E₂：满足，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：和C₂：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．

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给出下列四个命题：
①若△ABC三边为a，b，c，面积为S，内切圆的半径r=

2S

a+b+c

，则由类比推理知四面体ABCD的内切球半径R=

3V

S1+S2+S3+S4

（其中，V为四面体的体积，S₁，S₂，S₃，S₄为四个面的面积）；
②若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是

y

=1.23x+0.08；
③若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=log₃|x|有3个根．
④若圆C1：x2+y2+2x=0，圆C2：x2+y2+2y-1=0，则这两个圆恰有2条公切线．
其中，正确命题的序号是

①②④

①②④

．（把你认为正确命题的序号都填上）

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一、选择题（每题5分共50分）

1．D            2．A            3．Ｂ           4．C            5．C           

6．Ｃ       7．Ｂ        8．Ｃ    9．C    10．D

二、填空题（每题5分共20分）

       11．          12．                 13．                  

14．（0，2），               15．3

三、解答题（共80分）

16．解：（Ⅰ）由已知得：，  

又是△ABC的内角，所以．    

（2）由正弦定理：，

又因为，，又是△ABC的内角，所以．

17．证明：连结AB，A₁D，在正方形中，A₁B=A₁D，O是BD中点，

∴A₁O⊥BD；                 

连结OM，A₁M，A₁C₁，设AB=a，则AA₁=a，MC=a=MC₁

OA=OC=a，AC=a，

∴A₁O²=A₁A²+AO²=a²+a²=a²，OM²=OC²+MC²=a²，A₁M²=A₁C₁²+MC₁²=2a²+a²=a²,∴A₁M²=A₁O²+OM²，

∴A₁O⊥OM，  

∴AO₁⊥平面MBD

18解：（Ⅰ），

因为函数在及取得极值，则有，．

即

解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

当时，；

当时，；

当时，．

所以，当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

因为对于任意的，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范围为．

19．解（Ⅰ）由题意知，　　　  

当n≥2时，，，

两式相减得

整理得：   　

∴数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列。

∴　　　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴b_n=n　　

， …………①

， …………②

①－②得

， 　　

∴， 　　　

∴， 　　

20．解：设这台机器最佳使用年限是n年,则n年的保养、维修、更换易损零件的总费用为：

，

等号当且仅当

答：这台机器最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为1.55万元．

21．⑴c=2, a=3 双曲线的方程为

⑵ 得 (1?3k²)x²?6kx?9=0

  x₁＋x₂= , x₁x₂=

由△>0 得 k²<1

  由= x₁x₂＋y₁y₂=(1＋k²) x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋2>2得 <k²<3

  所以，<k²<1

即k∈(?1, )∪( , 1 )

附加题

(1)证明：先将变形：,

当，即时，∴恒成立，

故的定义域为。                                     

反之，若对所有实数都有意义，则只须。

令，即，解得，故。  

(2)解析：设，

∵是增函数，

∴当最小时，最小。

而，                               

 显然，当时，取最小值为，

此时为最小值。                      

(3)证明：当时，，

当且仅当m=2时等号成立。                                  

∴。