设双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p，Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与A₂Q的交点M的轨迹E的方程．

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已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（，0），
一条渐近线的方程为，点P为双曲线上不同于A、B的任意一点，过P作x轴的垂线交双曲线于另一点Q．
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过点N（l，0）作直线l与（Ⅱ）中轨迹E交于不同两点R、S，已知点T（2，0），设的取值范围．

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已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（，0），
一条渐近线的方程为，点P为双曲线上不同于A、B的任意一点，过P作x轴的垂线交双曲线于另一点Q．
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过点N（l，0）作直线l与（Ⅱ）中轨迹E交于不同两点R、S，已知点T（2，0），设的取值范围．

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一条双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂，点M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A₁M与A₂N交点的轨迹E的方程式；
（2）设直线l与曲线E相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（-2，0），若点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且．求y的值．

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一．选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

B

A

B

D

B

B

C

B

A

C

D

二．填空题

13． 4 ；          14．  ；      15． 2   ；     16．32 ；

三．解答题．

17．解：（1）  ……………………………2分

  ……………………………4分

  …………………………………………6分

（2）由余弦定理得：

（当且仅当时等号成立）………………9分

  …………………………………………………11分

的面积最大值为  …………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）由得

 …………………2分

∴   ……………………………………4分

（Ⅱ）由整理得

∴数列是以为首项，以2为公比的等比数列， …………………6分

∴

∴

∵当时满足  ………………………………………8分

（Ⅲ）

则  ………………………………………………………………10分

∴

∴当时，，当时，

高三数学（理科）（模拟一）答案第1页

即当或2时，。当时，……2分

19．解：（Ⅰ）掷出点数x可能是：1，2，3，4.

则分别得：。于是的所有取值分别为：0，1，4 .

因此的所有取值为：0，1，2，4，5，8.  …………………………………………2分

当且时，可取得最大值8，

此时，； ………………………………………………………4分

当时且时，可取得最小值 0.

此时   …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（1）知的所有取值为：0，1，2，4，5，8.

 ……………………………………………………………7分

当时,的所有取值为(2，3)、(4，3)、(3，2),(3，4)即；

当时,的所有取值为(2，2)、(4，4)、(4，2),(2，4)即…8分

当时,的所有取值为(1，3)、(3，1)即；

当时,的所有取值为(1，2)、(2，1)、(1，4),(4，1)即 …9分

所以的分布列为：

0

1

2

4

5

8

…

…………10分

即的期望 ………………12分

20．解：（Ⅰ）因为平面，   

所以平面平面，………………1分

又，所以平面，

得，又 ………2分

所以平面； ………………………3分

（Ⅱ）因为，所以四边形为菱形，

故，

又D为AC中点，知 ……………4分

取中点F，则平面，从而平面平面………………6分

过作于，则面，

高三数学（理科）（模拟一）答案第2页

    在中，，故  ……………………………7分

即到平面的距离为 …………………………………………8分

（Ⅲ）过作于，连，则

从而为二面角的平面角，  ……………………………………9分

在中，所以

在中，………………………………………11分

故二面角的大小为 ………………………………………12分

解法2：（Ⅰ）如图，取AB的中点E，则DE//BC，因为

所以又平面…………………1分

以为轴建立空间坐标系，

则

 ……………………2分

由知

又从而平面   ……………3分

（Ⅱ）由，得 ………4分

设平面的法向量为

所以设则……………………………7分

所以点到平面的距离………………………………8分

（Ⅲ）再设平面的法向量为

 所以 …………………………………9分

故，根据法向量的方向， ………………………11分

可知二面角的大小为………………………………………12分

高三数学（理科）（模拟一）答案第3页

21．解：（1）∵的图象关于原点对称，∴恒成立，即

∴又的图象在处的切线方程为即…2分

∴，且而 ∴ …………………3分

∴ 解得 故所求的解析式为 ……6分

（2）解 得或

又，由得且当或时，  ………………………………………………………………………………8分

当时∴在和递增;在上递减。…9分

∴在上的极大值和极小值分别为

而故存在这样的区间其中一个区间为…12分

22. 解：（1）由题意得设

则

由即① …………………………………2分

又在双曲线上，则 ②

联立①、②，解得：

由题意， ∴∴点T的坐标为（2，0）. ………………………………4分

（2）设直线与的交点M的坐标为

由、P、M三点共线，得：  ①

由、、三点共线，得： ②

联①、②立，解得： ……………………………………………6分

∵在双曲线上，∴

∴轨迹E的方程为  ………………………………………8分

高三数学（理科）（模拟一）答案第4页

（3）容易验证直线的斜率不为0.

故要设直线的方程为代入中得：

设且,则由根与系数的关系，

得：，①   ②  ………………………………10分

∵，∴有且。将①式平方除以②式，得：

由

  ……………………………………………………………12分

∵ ∴

又 ∴

故

令 ∵  ∴ 即

∴

而 ∴ ∴   …………………14分

高三数学（理科）（模拟一）答案第5页