题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1－BD－A的大小；
（Ⅲ）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
一． ADBCA CABBA BC
二．
13.3； 14.（-∞，4]； 15. 
； 16. 
.
三．
１７. 解：解：由
，得
…3分
………………6分
又
= 
。………10分
１８. 解:(I)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点”为事件A1,A2,A3.由已知A1,A2,A3相互独立,P(A1)＝ 0.4,P(A2)＝ 0.5,P(A3)＝ 0.6.
P(ξ＝ 3)＝ P(A1?A2?A3)+P(A1?A2?A3)
＝ P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3))
＝ 2×0.4×0.5×0.6＝
(Ⅱ)客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地,客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0,所以ξ的可能取值为1,3.∴P(ξ＝ 1)＝ 1－0.24＝ 0.76. ………12分
19、解：解法一：（Ⅰ）取
中点
，连结
．
为正三角形，
．
正三棱柱
中，平面
平面
，
平面．
连结
，在正方形
中，
分别为
的中点，
，
．………………………………….3分
在正方形
中，
，
平面
．………………………………….5分
（Ⅱ）设
与
交于点
，在平面中，作
于
，连结
，由（Ⅰ）得
平面．
，
为二面角
的平面角．………………………………….9分
在
中，由等面积法可求得
，
又
，
．
所以二面角的正弦值
．………………………………….12分
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．＄
平面．
取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
…….3分
，
，
．
，
，
，
．
平面．………………………………….6分
（Ⅱ）设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
为平面的一个法向量．…………………………9分
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，
．
二面角的正弦值…………………………12
２０.
解：（1）由已知得
解得
．
设数列
的公比为
，由，可得
．
又
，可知
，
即
，
解得
．
由题意得
．
．
故数列的通项为
．…………6
（2）由于
由（1）得
又
是等差数列．
=
=
故
．…………………………12
21.解：解:(Ⅰ)由题意知f′(x)＝ ax2+bx－a2,且f′(x)＝ 0的两根为x1、x2.
∴x1+x2＝ － x1x2＝ －a.
∴(x2－x1)2＝ (x2+x1)2－4x1x2＝ 4.
∴()2+
∴b2＝ (4－
(Ⅱ)由(1)知b2＝ (4－
令函数g(a)＝ (4－
g′(a)＝
－
令g'(a)＝ 0 ∴a1＝ 0,a2＝ .
函数g(a)在(0,)上为增函数,(,1)上为减函数.
∴g(a)max＝ g()＝ .
∴b2≤.
∴|b|≤.…………………………12分
22.解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线
是以
为焦点的双曲线的左支，且
，易知
故曲线的方程为
…………………………3
设
，由题意建立方程组
消去
，得
又已知直线与双曲线左支交于两点
，有
解得
………………5
∵ 
依题意得 
整理后得
∴
或
但 ∴
故直线
的方程为
…………………………8
设
，由已知
，得
∴
，
又
，
∴点
将点
的坐标代入曲线的方程，得
得
，
但当
时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴
.…………………………10
点的坐标为
到的距离为
∴
的面积
…………………………12
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