4.求二面角的方法很多.概括起来有两类.一类是作平面角.一类是不作平面角.作平面角又有直接作和间接作两种.形形色色的方法都是在做一件事:作二面角的棱的垂面,而不作平面角.要么建系用法向量求.要么用公式cos=(其中S表示平面内的封闭图形C的面积.S/表示C在平面内的射影C/的面积.表示与所成的锐二面角的大小).二面角的范围(00.1800).如cos=-.则= arccos(-)=- arccos. [举例]如图在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是 直角梯形.∠ADC=.AB∥CD.PC⊥面ABCD. PC=AD=DC=AB.E为线段AB的中点. (1)求证:平面PAC⊥平面PDE, (2)求二面角A-PE-D的大小. 解析:(1)在直角梯形ABCD中.容易知道四边形AECF是 正方形.∴DE⊥AC.又DE⊥PC∴DE⊥面PAC.∴面PDE⊥面PAC,(2)记PC=a. 方法一:用三垂线定理作二面角的平面角.记AC.DE交于O.连PO.PO是相互垂直的平面PDE和PAC的交线.过A作PO的垂线交PO于F.则AF⊥面PDE.即F是A在面PDE内的射影.又容易证明AE⊥面PEC.则AE⊥PE.于是FE⊥PE.∴∠AEF是二面角A-PE-D的平面角,在⊿PAO中有面积相等不难算出AF=a.而AE=a.在Rt⊿AFE中.∠AEF=arcsin.注:用三垂线定理作二面角的平面角.是作二面角的平面角的最常用.最重要的方法.其过程概括为:找一垂--找(作)一个面内一点P在另一个面内的射影P/.作二垂--过P(或P/)作二面角棱l的垂线.垂足为Q.连三垂--连P/Q.则l⊥P/Q.于是∠PQ P/为二面角的平面角,计算该角在直角三角形内进行,在上述过程中.“找一垂 是关键.方法二:射影“悬空 作二面角的平面角 注意到AE⊥PE.记点A在面PDE内的射影为F (无须知道点F的确切位置).连EF.则PE⊥FE.于是 ∠AEF是二面角A-PE-D的平面角,以下问题化归 到求AF的长度上.以下 用“等积转换 求AF.计算略. 方法三:利用平面图形的有关性质作二面角的平面角 注意到DP=DE=a.取PE的中点M.则PE⊥DM. 又容易知道AE⊥PE.取PA的中点N.连NM.则 NM∥AE.∴PE⊥MN.于是∠NMD为二面角A-PE-D 的平面角,以下在⊿DMN中.用余弦定理求∠NMD. 计算略. 方法四:用割补法求.视二面角A-PE-D为二面角A-PE-C 与二面角D-PE-C的差.对二面角A-PE-C. ∵ AE⊥面PEC.∴面AEP⊥面PEC. 即二面角A-PE-C为,对二面角D-PE-C.点C是点D 在面PEC内的射影.取BE的中点M.∵CP=CE=a. ∴PE⊥MC.于是有:PE⊥MD.则∠DMC为二面角D-PE-C的平面角. 在Rt⊿DCM中.∠DMC=arctan,∴二面角A-PE-D的大小为- arctan. 注:在求钝二面角时“割补法 往往很有效. 方法五:用平面的“法向量 求 ∵CP⊥CE, CP⊥CD, CE⊥CD,故可以C为原点. ..分别为x.y.z轴建立空间 直角坐标系.A.E. P.则=,=,= 由此不难求出平面PAE的法向量=. 平面PAE的法向量= 则有:cos<,>=,∴二面角A-PE-D的大小为arccos.注:用“法向量 求二面角有一处严重的不足:二面角两个面的法向量的夹角 未必等于二面角.也可能与二面角互补.这取决于法向量 的方向.而确定法向量的方向却是中学生力不能及的. [巩固] 如图.在多面体ABCDE中.AE⊥面ABC. BD∥AE.且AC=AB=BC=BD=2.AE=1.求面CDE与 面CAB所成的锐二面角. 查看更多

 

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同步练习册答案