已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=I(a＞0，b＞)的离心率为

3

，右焦点为F，过点M（1，0）且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，并且

FA

•

FB

=4．
（1）求双曲线方程；
（2）过右焦点F作直线l交双曲线C右支于P，Q两点，问在原点与右顶点之间是否存在点N，使的无论直线l的倾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．

已知双曲线 2x²-2y²=1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）设点M（-2，0），过点N（-

2

7

，0）作直线l交轨迹E于A、B两点，判断∠AMB的大小是否为定值？并证明你的结论．

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x²+y²-10x+20=0相切．过点P（-4，0）作斜率为

7

4

的直线l，交双曲线左支于A，B两点，交y轴于点C，且满足|PA|•|PB|=|PC|²．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2+(y-2)2=

1

4

上一动点，求|MN|的取值范围．

已知双曲线C_1：x²-y²=m（m＞0）与椭圆C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦点F₁F₂，点N(

2

，1)是它们的一个公共点．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）过点F₂且互相垂直的直线l₁，l₂与圆M：x²+（y+1）²=4分别相交于点A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此时直线l₁的方程．

已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）（1）求双曲线的方程.（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：.（3）若点A,B在双曲线上，点N(3,1)恰好是AB的中点，求直线AB的方程(12分)