题目列表(包括答案和解析)
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,令则
令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即
从而,又
所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
已知函数f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题:
①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
②f(x)的最小正周期是2π;
③f(x)在区间上是增函数;
④f(x)的图象关于直线对称;
⑤当时,f(x)的值域为其中正确的命题为
①②④
③④⑤
②③
③④
已知函数f(x)=2sin(ωx+),x∈R,其中ω>0,-π<≤π.若函数f(x)的最小正周期为6π,且当时,f(x)取得最大值,则
f(x)在区间[-2π,0]上是增函数
f(x)在区间[-3π,π]上是增函数
f(x)在区间[3π,5π]上是减函数
f(x)在区间[4π,6π]上是增函数
设对任意有,且当时,则在区间上( )
A.有最大值 B.有最小值
C.有最大值 D.有最小值
设f(x)是定义在R上的偶函数,对x∈R,都有,且当时,,若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根,则实数的取值范围是 ( )
A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1) D.(2)
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