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    10．(理)如图.在中...则过点C. 以A.H为两焦点的双曲线的离心率为 A．2 B．3 C． D． (文)已知二次曲线.离心率.则实数取值范围为 A． B． C． D． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=3，AB=4，BC=
    		3
    ，点E在线段AB的延长线上．曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
    （1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；
    （2）试问：过点C能否作一条直线l与曲线段DE相交于两点M、N，使得线段MN以C为中点？若能，则求直线l的方程；
    若不能，则说明理由．

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

    （Ⅰ）证明PC⊥AD；

    （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

    （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

     

    【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

    （1）证明：易得，于是,所以

    (2) ,设平面PCD的法向量，

    则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

    所以二面角A-PC-D的正弦值为.

    （3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

    由，故 

    所以，，解得，即.

    解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

    (2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

    因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

    因此所以二面角的正弦值为.

    （3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

    在中，由,,

    可得.由余弦定理，,

    所以.

     

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    已知椭圆.
    （1）我们知道圆具有性质：若为圆O：的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；
    （2）如图（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；
    （3）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
        
    图（1）                                    图（2）

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    （2012•湖南模拟）选做题（请考生在第16题的三个小题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分，要写出必要的推理与演算过程）
    （1）如图，已知Rt△ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，试求BD的长．
    （2）已知曲线C的参数方程为
    x=1+cosθ
    y=sinθ
    （θ为参数），求曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值．
    （3）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则
    a2
    x
    +
    b2
    y
    ≥
    (a+b)2
    x+y
    ，当且仅当
    a
    x
    =
    b
    y
    时上式取等号．请利用以上结论，求函数f（x）=
    2
    x
    +
    9
    1-2x
    （x∈0，
    1
    2
    ）的最小值．

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    选做题（请考生在第16题的三个小题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分，要写出必要的推理与演算过程）
    （1）如图，已知Rt△ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，试求BD的长．
    （2）已知曲线C的参数方程为数学公式（θ为参数），求曲线C上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值．
    （3）若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则数学公式+数学公式≥数学公式，当且仅当数学公式=数学公式时上式取等号．请利用以上结论，求函数f（x）=数学公式+数学公式（x∈0，数学公式）的最小值．

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