（湖北理21）（本小题满分14分）

已知m，n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)^m≥1+mx；

（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；

（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4^m+…+(n+2)^m=(n+3)ⁿ的所有正整数n.

【2012高考真题全国卷理21】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C：y=(x+1)²与圆M：（x-1）2+()²=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.

设函数f（x）=cx-（1+a²）x²，其中a＞0，区间I={X{f (x)da＞0

（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；

（Ⅱ）给定常数k ∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值。（21）（本小题满分13分）

（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）

    己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．

   （Ⅰ）求C的离心率；

   （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

(本小题满分12分）

某电视台为了宣传某沿江城市经济崛起的情况，特举办了一期有奖知识问答活动，活动对18—48岁的人群随机抽取 n人回答问题“沿江城市带包括哪几个城市”，统计数据结果如下表：

（Ⅰ）分别求出n,a,x的值;

（Ⅱ）若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答问题的概率,规定年龄在[38,48〕内回答正确的得奖金200元,年龄在[18,28〕内回答正确的得奖金100元。主持人随机请一家庭的两个成员(父亲46岁,孩子21岁)回答正确,求该家庭获得奖金的分布列及数学期望(两人回答问题正确与否相互独立)。