（本题满分16分，其中第1小题9分，第2小题7分）

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为1，高为（），动点在侧棱上移动.设与侧面所成的角为.

（1）当时，求点到平面的距离的取值范围；

（2）当时，求向量与夹角的大小.

.

（本题满分16分，其中第1小题3分，第2小题6分，第3小题7分）

设为非零实数，偶函数，.

（1） 求实数的值；

（2） 试确定函数的单调区间（不需证明）；

（3） 若函数在区间上存在零点，试求实数的取值范围.

(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)

为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的.

(1)要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天)

(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.

（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小

题满分7分）

（1）若对于任意的，总有成立，求常数的值；

（2）在数列中，，（，），求通项；

（3）在（2）题的条件下，设，从数列中依次取出第项，第项，…第项，按原来的顺序组成新的数列，其中，其中，.试问是否存在正整数使且成立？若存在，求正整数的值；不存在，说明理由.

（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．在数列中，，，其中．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，试比较与的大小．