在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M （1，-3）、N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），点C的轨迹与抛物线：y²=4x交于A、B两点．
（1）求证：

OA

⊥

OB

；
（2）在x轴上是否存在一点P （m，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

A、x+2y-5=0

B、2x-y=0

C、（x-1）2+（y-2）2=5

D、3x-2y-11=0

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

PM

⊥

FT

，

PT

∥

OF

．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知

p

=(-1，2)，A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），其中0≤θ≤

π

2

（1）若

AB

⊥

p

，且|

AB

|=

5

|

OA

|，求向量

OB

；
（2）若向量

AC

∥

p

，当k为大于4的某个常数时，tsinθ取最大值4，求此时

OA

与

OC

夹角的正切值．

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）求

| AC |

| CB |

的值；
（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，

π

2

]f(x)=

OA

•

OC

-(2m+

2

3

)|

AB

|的最小值为-

3

2

，求实数m的值．