（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,、、分别是、、的中点，是上的点.

（1）求直线与平面所成角的正切值的最大值；

（2）求证：直线平面；

（3）求直线与平面的距离.

(第19题图)

 

 

设F₁、F₂分别是椭圆C：=1(m＞0)的左、右焦点．

(1)当P∈C，且=0，|PF₁|·|PF₂|=4时，求椭圆C的左、右焦点F₁、F₂；

(2)F₁、F₂是(1)中的椭圆的左、右焦点，已知⊙F₂的半径是1，过动点Q的作⊙F₂的切线QM，使得|QF₁|=|QM|(M是切点)，如图所示，求动点Q的轨迹方程．

第19题图

(理)如图a所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0．4(km)．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元／km，原有公路改建费用为万元／km．当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时，其造价为(l²+1)a万元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

(2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

(3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线．PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论．

a)

第19题图

(文)如图b所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．

(1)求AC₁与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C₁-BD-C的大小；

(3)设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D?并证明你的结论．

第19题图

如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E为AB上的一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD中点F，且AF∥平面PEC．

(1)确定点E的位置；

(2)若异面直线PE、CD成60°角，求证：平面PEC⊥平面AECD；

(3)在(2)的条件下求点F到平面PEC的距离．

第19题图

（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中,、、分别是、、的中点，是上的点.

（1）求直线与平面所成角的正切值的最大值；

(第19题图)

（2）求证：直线平面；

（3）求直线与平面的距离.