题目列表(包括答案和解析)
如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、
PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
(3)若ÐPDA=45°求EF与平面ABCD所成的角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用,以及线面角的求解的综合运用
第一问中,利用连AC,设AC中点为O,连OF、OE在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
第二问中在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF.
第三问中,若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC ∵ EOBC,FOPA
∴ FO=EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
证:连AC,设AC中点为O,连OF、OE(1)在△PAC中,∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………① 在△ABC中,∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知:平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD.
(2)在矩形ABCD中,∵ EO∥BC,BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA,PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF.
(3)若ÐPDA=45°,则 PA=AD=BC ∵ EOBC,FOPA
∴ FO=EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO=45°
(理)(本小题8分)如图,在四棱锥中,底面是矩形, 平面,,,以的中点为球心、为直径的球面交于点.
(1) 求证:平面平面;
(2)求点到平面的距离.
证明:(1)由题意,在以为直径的球面上,则
平面,则
又,平面,
∴,
平面,
∴平面平面. (3分)
(2)∵是的中点,则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半,由(1)知,平面于,则线段的长就是点到平面的距离
∵在中,
∴为的中点, (7分)
则点到平面的距离为 (8分)
(其它方法可参照上述评分标准给分)
A.BD∥平面EFG,且EFGH是矩形 B.EF∥平面BCD,且EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且EFGH是菱形 D.EH∥平面ADC,且EFGH是平行四边形
在四棱锥中,平面,底面为矩形,.
(Ⅰ)当时,求证:;
(Ⅱ)若边上有且只有一个点,使得,求此时二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,
又因为,………………2分
又,得证。
第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解:(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,
又因为,又………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
本小题满分12分)高二级某次数学测试中,随机从该年级所有学生中抽取了100名同学的数学成绩(满分150分),经统计成绩在的有6人,在的有4人.在,各区间分布情况如右图所示的频率分布直方图,若直方图中,和对应小矩形高度相等,且对应小矩形高度又恰为对应小矩形高度的一半.
(1)确定图中的值;
(2)设得分在110分以上(含110分)为优秀,则这次测试的优秀率是多少?
(3)某班共有学生50人,若以该次统计结果为依据,现随机从该班学生中抽出3人, 则至少抽到一名数学成绩优秀学生的概率是多少?
【题文】
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