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    注意区分“求曲线上过点M的切线 与“求曲线上在点M处的切线 , 前者只要求切线过M点.M点未必是切点,而后者则很明确.切点就是M点. [举例]求函数y=x3-3x2+x的图象上过原点的切线方程 解析:易见O(0.0)在函数y=x3-3x2+x的图象上.y’=3x2-6x+1,但O点未必是切点. 设切点A(x0,y0)∵y’=3x2-6x+1, ∴切线斜率为3x02-6x0+1,又切线过原点.∴=3x02-6x0+1即:y0=3x03-6x02+x0 ① 又∵切点A(x0,y0)y=x3-3x2+x的图象上∴y0=x03-3x02+x0 ② 由①②得:x0 =0或x0 =.∴切线方程为:y=x或5x+4y=0 点评:一般地,过三次曲线的对称中心(不难证明三次曲线一定是中心对称图形.且对称中心在曲线上)的切线有且仅有一条,而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条.以下给出简单证明:由于三次曲线都是中心对称曲线.因此.将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为.若M(x1.y1)是三次曲线上的任一点.设过M的切线与曲线y=f(x)相切于(x0.y0).则切线方程为.因点M上此切线上.故.又.所以.整理得:.解得.或. 当点M是对称中心即= -=0时.过点M作曲线的切线切点是惟一的.且为M.故只有一条切线,当点M不是对称中心即时.过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点.故必有两条切线.其中一条就是以M为切点的切线. [巩固] 曲线上过点的切线方程是 ． 【查看更多】

     

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