题目列表(包括答案和解析)
(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
(文)对于数列,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题,为此,他取了其中第一项,第三项和第五项.
(1) 若成等比数列,求的值;
(2) 在, 的无穷等差数列中,是否存在无穷子数列,使得数列为等比数列?若存在,请给出数列的通项公式并证明;若不存在,说明理由;
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题:“对于首项为正整数,公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是,他在数列中任取三项,由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论?
(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分8分.
(文)对于数列,从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题,为此,他取了其中第一项,第三项和第五项.
(1) 若成等比数列,求的值;
(2) 在, 的无穷等差数列中,是否存在无穷子数列,使得数列为等比数列?若存在,请给出数列的通项公式并证明;若不存在,说明理由;
(3) 他在研究过程中猜想了一个命题:“对于首项为正整数,公比为正整数()的无穷等比数 列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是,他在数列中任取三项,由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论?
函数是定义在上的奇函数,且。
(1)求实数a,b,并确定函数的解析式;
(2)判断在(-1,1)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(3)写出的单调减区间,并判断有无最大值或最小值?如有,写出最大值或最小值。(本小问不需要说明理由)
【解析】本试题主要考查了函数的解析式和奇偶性和单调性的综合运用。第一问中,利用函数是定义在上的奇函数,且。
解得,
(2)中,利用单调性的定义,作差变形判定可得单调递增函数。
(3)中,由2知,单调减区间为,并由此得到当,x=-1时,,当x=1时,
解:(1)是奇函数,。
即,,………………2分
,又,,,
(2)任取,且,
,………………6分
,
,,,,
在(-1,1)上是增函数。…………………………………………8分
(3)单调减区间为…………………………………………10分
当,x=-1时,,当x=1时,。
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