2．设A.B是椭圆上的两点.点N(1.3)是线段AB的中点.线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C.D两点. (Ⅰ)确定的取值范围.并求直线AB的方程, (Ⅱ)试判断是否存在这样的.使得A.B.C.——青夏教育精英家教网—

2．设A.B是椭圆上的两点.点N(1.3)是线段AB的中点.线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C.D两点. (Ⅰ)确定的取值范围.并求直线AB的方程, (Ⅱ)试判断是否存在这样的.使得A.B.C.D四点在同一个圆上?并说明理由. (Ⅰ)解法1:依题意.可设直线AB的方程为.整理得 ① 设是方程①的两个不同的根. ∴ ② 且由N(1.3)是线段AB的中点.得解得k=-1.代入②得.的取值范围是. 于是.直线AB的方程为解法2:设则有依题意. ∵N(1.3)是AB的中点. ∴ 又由N(1.3)在椭圆内.∴ ∴的取值范围是. 直线AB的方程为y-3=-(x-1).即x+y-4=0. (Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB.∴直线CD的方程为y-3=x-1.即x-y+2=0. 代入椭圆方程.整理得又设CD的中点为是方程③的两根. ∴ 于是由弦长公式可得 ④ 将直线AB的方程x+y-4=0.代入椭圆方程得 ⑤ 同理可得 ⑥ ∵当时. 假设存在>12.使得A.B.C.D四点共圆.则CD必为圆的直径.点M为圆心. 点M到直线AB的距离为 ⑦ 于是.由④.⑥.⑦式和勾股定理可得故当>12时.A.B.C.D四点匀在以M为圆心.为半径的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A.B.C.D共圆△ACD为直角三角形.A为直角|AN|2=|CN|·|DN|. 即 ⑧ 由⑥式知.⑧式左边由④和⑦知.⑧式右边 ∴⑧式成立.即A.B.C.D四点共圆. 解法2:由(Ⅱ)解法1及λ>12, ∵CD垂直平分AB. ∴直线CD方程为.代入椭圆方程.整理得 ③ 将直线AB的方程x+y-4=0.代入椭圆方程.整理得 ⑤ 解③和⑤式可得不妨设 ∴ 计算可得.∴A在以CD为直径的圆上. 又B为A关于CD的对称点.∴A.B.C.D四点共圆.(注:也可用勾股定理证明AC⊥AD) 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

22.

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.