题目列表(包括答案和解析)
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f(x) |
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f(n) |
2n-1 |
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意
,
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【解析】第一问利用的定义域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
第二问中,若对任意不等式
恒成立,问题等价于
只需研究最值即可。
解: (I)的定义域是
......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及
得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
........4分
(II)若对任意不等式
恒成立,
问题等价于,
.........5分
由(I)可知,在上,x=1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,
故也是最小值点,所以; ............6分
当b<1时,;
当时,
;
当b>2时,;
............8分
问题等价于 ........11分
解得b<1 或 或
即
,所以实数b的取值范围是
汕头二中拟建一座长米,宽
米的长方形体育馆.按照建筑要求,每隔
米(
,
为正常数)需打建一个桩位,每个桩位需花费
万元(桩位视为一点且打在长方形的边上),桩位之间的
米墙面需花
万元,在不计地板和天花板的情况下,当
为何值时,所需总费用最少?
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。先求需打个桩位.再求解墙面所需费用为:
,最后表示总费用
,利用导数判定单调性,求解最值。
解:由题意可知,需打个桩位.
…………………2分
墙面所需费用为:,……4分
∴所需总费用(
)…7分
令,则
当时,
;当
时,
.
∴当时,
取极小值为
.而在
内极值点唯一,所以
.∴当
时,
(万元),即每隔3米打建一个桩位时,所需总费用最小为1170万元.
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