已知函数f(x)＝－x³＋x²＋b，g(g)＝alnx．

(1)若f(x)在上的最大值为，求实数b的值；

(2)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x²＋(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围；

(3)在(1)的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y＝F(x)上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．