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    例1．海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动.通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报.要求版心面积为128dm2,上.下两边各空2dm,左.右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸.才能使四周空心面积最小? 解:设版心的高为xdm.则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 . 求导数.得 . 令.解得舍去). 于是宽为. 当时.<0,当时.>0. 因此.是函数的极小值.也是最小值点.所以.当版心高为16dm.宽为8dm时.能使四周空白面积最小. 答:当版心高为16dm.宽为8dm时.海报四周空白面积最小. 例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过.市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大.饮料公司的利润越大? [背景知识]:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分.其中 是瓶子的半径.单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料.制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:(1)瓶子的半径多大时.能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时.每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为.所以每瓶饮料的利润是 令 解得 (舍去) 当时.,当时.． 当半径时.它表示单调递增.即半径越大.利润越高, 当半径时. 它表示单调递减.即半径越大.利润越低． (1)半径为cm 时.利润最小.这时.表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本.此时利润是负值． (2)半径为cm时.利润最大． 换一个角度:如果我们不用导数工具.直接从函数的图像上观察.会有什么发现? 有图像知:当时..即瓶子的半径为3cm时.饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等,当时.利润才为正值． 当时..为减函数.其实际意义为:瓶子的半径小于2cm时.瓶子的半径越大.利润越小.半径为cm 时.利润最小． 例3．磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘.并有操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道.扇区是指被同心角分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧段可作为基本存储单元.根据其磁化与否可分别记录数据0或1.这个基本单元通常被称为比特(bit). 为了保障磁盘的分辨率.磁道之间的宽度必需大于.每比特所占用的磁道长度不得小于.为了数据检索便利.磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题:现有一张半径为的磁盘.它的存储区是半径介于与之间的环形区域． (1) 是不是越小.磁盘的存储量越大? (2) 为多少时.磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于与R之间.由于磁道之间的宽度必需大于.且最外面的磁道不存储任何信息.故磁道数最多可达.由于每条磁道上的比特数相同.为获得最大存储量.最内一条磁道必须装满.即每条磁道上的比特数可达.所以.磁盘总存储量 × (1)它是一个关于的二次函数.从函数解析式上可以判断.不是越小.磁盘的存储量越大． (2)为求的最大值.计算． 令.解得 当时.,当时.． 因此时.磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为 例4．汽油的使用效率何时最高 我们知道.汽油的消耗量与汽车的速度之间有一定的关系.汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验.思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快.汽车的消耗量越大? (2)“汽油的使用率最高 的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量.那么.其中.表示汽油消耗量.表示汽油行驶的路程．这样.求“每千米路程的汽油消耗量最少 .就是求的最小值的问题． 通过大量的统计数据.并对数据进行分析.研究.人们发现.汽车在行驶过程中.汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量.单位:L/h)与汽车行驶的平均速度之间有如图所示的函数关系． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此.我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量.单位:L/h)与汽车行驶的平均速度之间关系的问题.然后利用图像中的数据信息.解决汽油使用效率最高的问题． 解:因为 这样.问题就转化为求的最小值．从图象上看.表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现.当直线与曲线相切时.其斜率最小．在此切点处速度约为90． 因此.当汽车行驶距离一定时.要使汽油的使用效率最高.即每千米的汽油消耗量最小.此时的车速约为90．从数值上看.每千米的耗油量就是图中切线的斜率.即.约为 L． 例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形.再把它的边沿虚线折起.做成一个无盖的方底箱子.箱底的边长是多少时.箱底的容积最大?最大容积是多少? 解法一:设箱底边长为xcm.则箱高cm.得箱子容积 ． 令 ＝0.解得 x=0.x=40. 并求得V(40)=16 000 由题意可知.当x过小时.箱子容积很小.因此.16 000是最大值 答:当x=40cm时.箱子容积最大.最大容积是16 000cm3 解法二:设箱高为xcm.则箱底长为(60-2x)cm.则得箱子容积 ． 由题意可知.当x过小或过大时箱子容积很小.所以最大值出现在极值点处． 事实上.可导函数.在各自的定义域中都只有一个极值点.从图象角度理解即只有一个波峰.是单峰的.因而这个极值点就是最值点.不必考虑端点的函数值 例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时.它的高与底与半径应怎样选取.才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h.底半径为R.则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h.得.则 S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2 令 +4πR=0 解得.R=.从而h====2 即h=2R 因为S(R)只有一个极值.所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时.所用材料最省 变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时.它的高与底面半径应怎样选取.才能使所用材料最省? 提示:S=2+h= V(R)=R= )=0 ． 例6．在经济学中.生产x单位产品的成本称为成本函数同.记为C(x).出售x单位产品的收益称为收益函数.记为R称为利润函数.记为P(x). ＝.那么生产多少单位产品时.边际最低?(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量) =50x+10000.产品的单价P＝100-0.01x.那么怎样定价.可使利润最大? 变式:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q.价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时.利润L最大? 分析:利润L等于收入R减去成本C.而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式.再用导数求最大利润． 解:收入. 利润 令.即.求得唯一的极值点 答:产量为84时.利润L最大 例7．一条水渠.断面为等腰梯形.如图所示.在确定断面尺寸时.希望在断面ABCD的面积为定值S时.使得湿周l=AB+BC+CD最小.这样可使水流阻力小.渗透少.求此时的高h和下底边长b. 解:由梯形面积公式.得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC.DE=h,BC=b ∴AD=h+b, ∴S= ① ∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ② 由①得b=h,代入②,∴l= l′==0,∴h=, 当h<时.l′<0,h>时.l′>0. ∴h=时.l取最小值.此时b= 例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上.另两个顶点位于抛物线y ＝4-x2在x轴上方的曲线上.求这种矩形中面积最大者的边长． [解]设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x.y).且x ＞0.y ＞0. 则另一个在抛物线上的顶点为(-x.y). 在x轴上的两个顶点为(-x.0).(x.0).其中0＜ x ＜2． 设矩形的面积为S.则S ＝2 x(4-x2).0＜ x ＜2． 由S′(x)＝8-6 x2＝0.得x ＝.易知 x ＝是S在(0.2)上的极值点. 即是最大值点. 所以这种矩形中面积最大者的边长为和． [点评] 应用题求解.要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值.且极小值唯一.即可确定极小值就是最小值． 练习:1:一书店预计一年内要销售某种书15万册.欲分几次订货.如果每次订货要付手续费30元.每千册书存放一年要耗库费40元.并假设该书均匀投放市场.问此书店分几次进货.每次进多少册.可使所付的手续费与库存费之和最少? [解]假设每次进书x千册.手续费与库存费之和为y元. 由于该书均匀投放市场.则平均库存量为批量之半.即.故有 y ＝×30+×40.y′＝-+20. 令y′＝0.得x ＝15.且y″＝.f″(15)＞0. 所以当x ＝15时.y取得极小值.且极小值唯一. 故 当x ＝15时.y取得最小值.此时进货次数为＝10(次)． 即该书店分10次进货.每次进15000册书.所付手续费与库存费之和最少． 2:有甲.乙两城.甲城位于一直线形河岸.乙城离岸40千米.乙城到岸的垂足与甲城相距50千米.两城在此河边合设一水厂取水.从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元.问水厂应设在河边的何处.才能使水管费用最省? [解]设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米.总费用为y元. 则CD ＝． y ＝500(50-x)+700 ＝25000-500 x +700. y′＝-500+700 · (x 2+1600)· 2 x ＝-500+. 令y′＝0.解得x ＝． 答:水厂距甲距离为50-千米时.总费用最省． [点评] 当要求的最大(小)值的变量y与几个变量相关时.我们总是先设几个变量中的一个为x.然后再根据条件x来表示其他变量.并写出y的函数表达式f(x)． 【查看更多】

     

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    学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm，张贴的长与宽尺寸为（　　）才能使四周空白面积最小（　　）
    A．20dm，10dmB．12dm，9dmC．10dm，8dmD．8dm，5dm

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    学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm，张贴的长与宽尺寸为（ ）才能使四周空白面积最小（ ）
    A．20dm，10dm
    B．12dm，9dm
    C．10dm，8dm
    D．8dm，5dm

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