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    22．已知点A.B的距离为2.以B为圆心作半径为2的圆.P为圆上一点.线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M.当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C．(Ⅰ)建立适当的坐标系.求曲线C的方程.并说明它是什么样的曲线, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）
    已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,)。
    （1）若||=||，求角α的值；
    （2）若·，求的值

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    （本小题满分14分）
    已知点C（1，0），点A、B是⊙O：上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点．
    （1）求点P的轨迹T的方程；
    （2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

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    （本小题满分14分）已知点P（2，0），及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4=0.

    （1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；

    （2）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程.

     

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    （本小题满分14分）

    已知点C（1，0），点A、B是⊙O：上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点．

    （1）求点P的轨迹T的方程；

    （2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

     

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    （本小题满分14分）已知点P（2，0），及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4=0.
    （1）当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
    （2）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程.

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    一、选择题：

    1．D　2．D　3．B   4．A  5．C  6．A  7．B  8．A ９．C  10．A  11．C  12．D

    二、填空题：13. －２  14．１１　　１５．　⊥　或　⊥

    １６．3　　　１７．　　　　１８．

    三、解答题

    19．解：（Ⅰ）记至少有一次中一等奖的事件为Ａ，

    则其概率Ｐ（Ａ）＝＋＝．

    答：至少有一次中一等奖的概率为．　　　　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

    注：本小问缺少事件命名、答，各扣一分．

    （Ⅱ）每次抽取奖券都是相互独立的，其中后四次分别看作独立重复实验．   ．．．．．．．．７分

    设第一次中一等奖，后四次中恰有２次中二等奖的事件为B，　　　　　　．．．．．．．．．．．８分

    则其概率Ｐ（B）=0.05292   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１分

    答：第一次中一等奖，后四次中恰有２次中二等奖的概率为0.05292．　　　．．．．．．．．．．１2分

    20．解：（Ⅰ）      ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

    由题意，代入上式，解之得：a=1，b=1．　　　．．．．．．．．．．5分

    （２）当b=1时，　　　　　　　

    因故方程有两个不同实根．　　　．．．．．．．．．．．．8分

    不妨设，由可判断的符号如下：

    当＞０；

    当＜０；

    当＞０

    因此是极大值点，是极小值点．    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11分

    所以，当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点．．．．．12分．

    21．21．解:

    （Ⅰ）设P点在平面ABCD上的射影为O, 连接CO,则∠PCO就是PC与平面ABCD所成的角,--------------------------1分

    取AB的中点M,连接PM、OM,因为PA=PB,所以PM⊥AB,由三垂线定理的逆定理得OM⊥AB,,所以∠PMO就是二面角P-AB-C的平面角，即∠PMO=600，--------------2分

    在ΔPAB中，

     

    PM=

    过O作ON⊥BC交BC于N,则BN=MO=1,

    在RtΔCON中,OC=------------------------3分

    在RtΔPOC中 ，tan∠PCO=

    即PC与平面ABCD所成的角为arctan.-------------------------------------5分

    (Ⅱ)连接AC、BD.交于点H,则H为AC的中点，取PC中点E，则PA∥HE,-----7分

    所求。---9分

    （Ⅲ）取PA中点为F,连接HF,则HF∥PC,所以∠BHF为异面直线PC与BD所成的角或其补角。----------------10分

    在ΔBHF中，

    -------12分

    COS∠BHF=

    ∠BHF=arccos,即PC与BD所成的角为 arccos。--------14分

    22．解：（Ⅰ）以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则　A（－1,0），B（1,0）………………………………………1’

    设M（x,y）,由题意：|MP|=|MA|,|BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2     ……..3’

    故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆，……………………..5’

    其方程为x2+2y2=2  ……………………….7’

    （Ⅱ）直线l与曲线C的位置关系是相切。…………………8’

    证明如下:　由（Ⅰ）知曲线C方程为x2+2y2=2，

    设P(m,n)，则P在⊙B上，故(m-1)2+n2=8，即m2+n2=7+2m …………..9’

    当P、A、B共线时，直线l的方程为x=±，显然结论成立. ………….10’

    当P、A、B 不共线时，直线l的方程为：y-=-(x-)

    整理得，y=－(x-)＋＝－x＋=－x＋  ………………….11’

    把直线l的方程代入曲线C方程得：x2+2（－x＋）2＝2

    整理得，[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0            ………………………12’

    判别式△＝[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2] [2(m+3)2-2n2]= -8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]

                  =-8n2[-m2-n2+2m+7]=0                        

    ∴直线l与曲线C相切　　……………………………14’

    说明：以A或B为原点建系，可参照得分.

    另证：在直线l上任取一点M’，连结M’A、M’B、MA，……………………………9’

    由垂直平分线的性质得　|M’A|=|M’P|，……………………………11’

    ∴|M’A|+|M’B|＝|M’P|+|M’B|≥｜PB｜＝2（当且仅当M、M’重合时取”=”号）　　……13’

    ∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M　　　　　　　　　　

    结论得证.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………14’

    23解：（Ⅰ）；由Sn+2－ (t+1)Sn+1＋tSn=0，得(t+1)Sn+1= Sn+2＋tSn，即,           （2分）

    而 a1=t，a2=t2                                                                                                     （3分）

     所以，当t≠0时，数列是以t为首项，t为公比的等比数列.于是 。       

    经验证当t=0时上述结论仍成立　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （4分）

    （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，则有

    （5分）

    当t≠0时

                                                （6分）

    于是有，解得  （7分）

    所以                

    经验证当t=0时上述结论仍成立　                            （9分）

    （Ⅲ）＝(tn＋t-n)　　∵(tn＋t-n)－(2n＋2-n)＝(tn－2n)[1－()n] 且＜t＜2

    ∴＜<1     ∴tn－2n＜0且1－()n<0　　                      

    ∴(tn－2n) [1－()n]<0                                   

    ∴tn＋t-n<2n＋2-n                                         （11分）

    ∴  2（ ++ ……+）<(2+22+……+2n)+ (2-1+2-2+……+2-n)=2(2n-1)+1-2-n

    =2n+1－（1＋2-n）                                       （12分）

    ＜2n+1－2                   

    ∴<                                   （14分）

     

    另解：对f(t)求导，可得函数在区间上单调减，在区间上单调增，且f()=f(2)

    于是有                                                   

    所以<

                       =         

                         


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