如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形．已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比．现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在

[　　]

A．P点　　　　B．R点　　　　C．Q点　　　　D．S点

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一、选择题

题　号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答　案

D

C

A

D

D

B

A

B

C

D

A

C

二、填空题

13． {x|x≤?2或x=1}    14． 7       15．  18       16．

三、解答题（共74分）

17．（1）∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯，第三个路口遇到红灯。
       ∴概率P=（1?）（1?）×=

   （2）（理）    ∴  
       （文）

18．∵α∈（0，），β∈（，2），  ∴，

又，

   ∴

又

且，

∴   ∴

∴

19．解（1）令则2bx²+x+a=0

       由题意知：x=1，2是上方程两根，由韦达定理：
                 ∴
      （2）由（1）知：
       令   解得：x<0或1<x<2
       ∴f(x)的单调增区间为（1，2）   减区间是（0，1）和（2，+）
      （3）由（2）知：f(x)在x₁=1处取极小值，在x₂=2处取极大值。
20．（1）以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴。

则D（0，8，0），A₁（0，0，4），M（5，2，4）

∴ 

∵   ∴

   （2）由（1）知A₁D⊥AM，又由已知A₁D⊥AN，
∴A₁D⊥平面AMN，垂足为N。

        因此AD与平面所成的角即是∠DAN。

        易知∠DAN = AA₁D = arctan2

   （3）∵AA₁⊥平面ABCD，A₁N⊥平面AMN，

        ∴和分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
        设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则       

=（，）=∠AA₁N = AA₁D = arccos

21．（1）解：设P（a,0），Q（0，b）
则：  ∴

设M（x,y）∵  

∴  

∴
（2）解法一：设A(a,b)，，（x₁≠x₂）

则：直线SR的方程为：，即4y = (x₁+x₂)x－x₁x₂

∵A点在SR上，∴4b=(x₁+x₂)a－x₁x₂  ①

对求导得：y′=x

∴抛物线上S、R处的切线方程为：

即4    ②

即4  ③

联立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0

故：B点在直线ax－2y－2b=0上

解法二：设A(a,b)

当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a)

与联立消去y得：x²－4kx+4ak－4b=0

设，（x₁≠x₂）

则由韦达定理：

又过S、R点的切线方程分别为：， 

联立，并解之得 （k为参数）

消去k，得：ax－2y－2b=0

故：B点在直线2ax－y－b=0上

22．解（1）令m=－1，n=0则：f(?1)=f(?1)f(0)，而f(­?1)>1 ∴f(0)=1

       令m=x>0，n=­ ?x<0则f(x?x)=f(x)?f(?x)=1

       ∴f(x)=(0,1)，即x>0时0<f(x)<1

       设x₁<x₂则x₂?x₁=0    ∴0<f (x₂?x₁)?f (x₁)?f (x₁)=f (x₁)[f (x₂?x₁)?1]<0  ∴f(x)<f(x₁)

       即y = f (x)在R上单调递减

  （2）由f(a_n+1)=，nN*  得：f(a_n+1)?f(?2?a_n) =1

       ∴f(a_n+1?a_n?2) = f (0) 由（1）知：a_n+1?a_n?2=0

       即a_n+1?a_n=2（nN*）  ∴{a_n}是首项为a₁=1，公差为2的等差数列

       ∴a_n=2n?1

  （3）假设存在正数k，使（1+对nN*恒成立

       记F(n)=

       即   ∴F（n）是递增数列，F（1）为最小值。

       由F（n）恒成立知k    ∴k_max = .