题目列表(包括答案和解析)
本题满分14分）已知函数
，
，其中
．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（I）设函数
．若
在区间
上不单调，求
的取值范围；
（II）设函数
是否存在，对任意给定的非零实数
，存在惟一的非零实数
（
），使得
成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
(本题满分14分) 若F1、F2为双曲线
的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足
（Ⅰ）求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若此双曲线过点
，求双曲线方程；（Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），求B2作直线AB与双曲线交于A、B两点，求
时，直线AB的方程.
(本题满分14分)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x ≥ 10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x（单位：元）．⑴写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
⑵该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = ）
(本题满分14分)如图，已知二次函数
，直线l
：x = 2，直线l
：y = 3tx(其中
1< t < 1，t为常数)；若直线l、l与函数
的图象所围成的封闭图形如图(5)阴影所示．(1)求y = 
；(2)求阴影面积s关于t的函数s = u(t)的解析式；(3)若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线s=u(t)(t∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．
(本题满分14分)
在梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,A、B是两个定点，其坐
标分别为（0，－1）、（0，1），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|.
(1)求动点C的轨迹E的方程；
(2)试探究在轨迹E上是否存在一点P？使得P到直线y＝x－2的
距离最短；
(3)设轨迹E与直线
所围成的图形的
面积为S,试求S的最大值。
其它解法请参照给分。
一：填空题
1、2； 2、
x∈R，使x2+1＜x； 3、π； 4、；
5、既不充分也不必要条件；
6、1+i； 7、； 8、5； 9、； 10、(-∞, -)∪(,+∞)；
11、2或5； 12、9； 13、b1?b22?b33?…?bnn=； 14、；
二:
解答题
15．解：（1）∵(a=(cosα,sinα) (b=(cosβ,sinβ)
∴(a?(b=cos(α-β) =cos= …………………………………………5分
（2）∵
∴
………7分
α+β=2α-(α-β)= -(α-β)
……………………………………9分
∴
或
或7……………14分
16、证明：（1）令BC中点为N，BD中点为M，连结MN、EN
∵MN是△ABC的中位线
∴ MN∥CD …………………………2分
由条件知AE∥CD ∴MN∥AE 又MN=CD=AE
∴四边形AEMN为平行四边形
∴AN∥EM …………………………4分
∵AN
面BED, EM
面BED
∴AN∥面BED……………………6分
（2） ∵AE⊥面ABC, AN
面ABC
∴AE⊥AN 又∵AE∥CD,AN∥EM∴EM⊥CD………………8分
∵N为BC中点，AB=AC∴AN⊥BC
∴EM⊥BC………………………………………………10分
∴EM⊥面BCD…………………………………………12分
∵EM面BED ∴ 面BED⊥面BCD ……14分
17．解：（1）取弦的中点为M，连结OM
由平面几何知识，OM=1
…………………………………………3分
解得：
，
………………………………………5分
∵直线过F、B ，∴
则
…………………………………………7分
（2）设弦的中点为M，连结OM
则
……………………………………10分
解得
…………………………………………12分
∴
……………………………15分
18．（1）延长BD、CE交于A，则AD=
，AE=2
则S△ADE= S△BDE= S△BCE=
, ∵S△APQ=，
∴
∴
…………………7分
（2）
=
?
………………12分
当
，即
……15分
19．解（1）证：
由
得
在C1上点
处的切线为y-2e=2(x-e)，即y=2x
又在C2上点处切线可计算得y-2e=2(x-e)，即y=2x
∴直线l与C1、C2都相切，且切于同一点（e,2e） …………………5分
（2）据题意：M(t, +e),N(t,2elnt),P(t,2t)
∵+e-2t=≥0,∴+e ≥2t
设h(t)= 2t-2elnt，则由h/(t)=2-=0得t=e ；
当t∈（0,e）时h/(t)＜0，h(t)单调递减；且当t∈（e,+∞）时h/(t)＞0，h(t)单调递增；
∴t＞0有h(t)≥h(e)=0 ∴2t≥2elnt
∴f(t)=+e-2t-(2t-2elnt)= +e -4t+2elnt………………4分
f(t)= +2e-4==≥0…………………7分
∴
在
上递增∴当
时
………10分
（3）
设上式为
，假设
取正实数，则
?
当
时，
，
递减；
当
，
，递增． ……………………………………12分
∵
∴不存在正整数，使得
即
…………………16分
20．解：（1）
，
，
对一切
恒成立
的最小值，又
，
………………4分
（2）
这5个数中成等比且公比的三数只能为
只能是
，
…………………………8分
,
,
，
显然成立
……………………………………12分
当
时，
，
∴
∴使成立的自然数n恰有4个正整数的p值为3……16分
三：理科附加题
21． A．解：(1)
∴
∴AB=CD
…………………………4分
（2）由相交弦定理得2×1=(3+OP)(3-OP)
∴
，∴
……………………………………10分
B．解：依题设有：
………………………………………4分
令
，则
…………………………………………5分
…………………………………………7分
………………………………10分
C．解：以有点为原点，极轴为
轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………3分
同理
为圆
的直角坐标方程． ……………………………………6分
（2）由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为
． …………………………10分
D．证明：（1）因为
所以
…………………………………………4分
（2）∵
…………………………………………6分
同理，
，
……………………………………8分
三式相加即得
……………………………10分
22．解：（1）记“恰好选到1个曾参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的
,
则其概率为
…………………………………………4分
答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为
（2）随机变量
P(ξ=2)= =; P(ξ=3)= =;
………7分
2
3
4
P
∴随机变量的分布列为
………………10分
23．（1）
，
，
，
，
,
………………3分
（2）平面BDD1的一个法向量为
，设平面BFC1的法向量为
∴
取
得平面BFC1的一个法向量
∴所求的余弦值为
……………………………………6分
（3）设
（
）
，由
得
即
，
,当
时，
当
时，∴
……………10分
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