某地区举办青少年科技创新大赛，有50件科技创新作品进入了最后的评审阶段，大赛组委会对这50件作品分别从“艺术与创新”和“功能与实用”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“艺术与创新”得分为x，“功能与实用”得分为y，统计结果如下表：
（Ⅰ）求“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的概率；
（Ⅱ）若“功能与实用”得分的数学期望为

167

50

，求a、b的值．

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某地区举办青少年科技创新大赛，有50件科技创新作品进入了最后的评审阶段，大赛组委会对这50件作品分别从“艺术与创新”和“功能与实用”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“艺术与创新”得分为x，“功能与实用”得分为y，统计结果如下表：

(Ⅰ)求“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的概率；
(Ⅱ)若“功能与实用”得分的数学期望为，求a，b的值。

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某地区举办青少年科技创新大赛，有50件科技创新作品进入了最后的评审阶段，大赛组委会对这50件作品分别从“艺术与创新”和“功能与实用”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“艺术与创新”得分为x，“功能与实用”得分为y，统计结果如下表：
（Ⅰ）求“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的概率；
（Ⅱ）若“功能与实用”得分的数学期望为，求a、b的值．

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一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 

1．D   2．B   3．D   4．A  5．C   6．B   7．D   8．C  

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

9． （）   10．12000     11．4    12．144     13．

14．      15．

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

16．(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………2分

    ……………………………………………………3分

    ………………………………………………………5分

∴函数的最小正周期…………………………………………6分

（Ⅱ）当时，………………………………………8分

∴当即时，函数单调递增……………………10分

当即时，函数单调递减……………………12分

17．(本小题满分12分)

解：∵作品数量共有50件，∴…………①……………………2分

（Ⅰ）从表中可以看出，“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的作品数量为6件，

∴“艺术与创新为4分且功能与实用为3分”的概率为……………4分

（Ⅱ）由表可知“功能与实用”得分有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，件，15件，15件，年。

∴“功能与实用”得分的分布列为：

1

2

3

4

5

…………………………………8分

又∵“功能与实用”得分的数学期望为，

∴

与①式联立可解得：，……………………12分

18．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分

在中，，，∴，…………2分

∴…………4分

则…………………………………………5分

（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分

又，，

∴平面………………………7分    

∵、分别为、中点，

∴………………………8分

∴平面………………………9分

∵平面，∴平面平面

………………………10分

（Ⅲ）取的中点，连结，则，

∴平面，过作于，

连接，则为二面角的平面角。

…………………………12分

∵为的中点，，，

∴，又，

∴，故

即三面角的大小为…………………………14分

19．(本小题满分14分)

解：由函数得，………………3分

(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当

，

即．  …………………………………………………7分

(Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．……………………………………………………………………………8分

当时，显然成立。    …………………………………9分

当，

∵的最小值是．

∴．

从而解得  …………………………………………………………………11分

当，

∵的最大值是，∴，

从而解得．  ………………………………………………………………13分

综上可得，从而 ………………………………14分

20．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为（），………………………1分

∴………………………………………………………………………2分

∴，所求方程为………………………………………4分

（Ⅱ）设动圆圆心为，（其中），、的坐标分别为，

因为圆过，故设圆的方程……………6分

∵、是圆和轴的交点

∴令得：…………………………………………………8分

则，

…………………10分

又∵圆心在抛物线上

∴ …………………………………………………………………11分

∴…………………………………．12分

∴当时，(定值)．  ……………………………………………14分

21．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）若为等比数列，则存在，使

对成立。…………………2分

由已知：，代入上式，整理得

 ………①……………4分

∵①式对成立，

∴解得……………………………………5分

∴当，时，数列是公比为2的等比数列…………6分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，即

所以……………………………8分

∵…………………………9分

时，

…………………………11分

现证：（）

证法1：

当时，，

而，，故时成立。…………………………12分

时，由

且得，，∴…………………14分

证法2：

时

个

∴……………………………………14分

证法3：

（1）时，

，故时不等式成立……………………12分

（2）假设（）