题目列表(包括答案和解析)
若数列都成立,则我们把数列称为“L型数列”.
(1)试问等差是否为L型数列?若是,写出对应p、q的值;若不是,说明理由.
(2)已知L型数列满足
,
的两根,若,求证:数列是等比数列(只选其中之一加以证明即可).
(3)请你提出一个关于L型数列的问题,并加以解决.(本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值,最高10分)
已知正项数列的前n项和满足:,
(1)求数列的通项和前n项和;
(2)求数列的前n项和;
(3)证明:不等式 对任意的,都成立.
【解析】第一问中,由于所以
两式作差,然后得到
从而得到结论
第二问中,利用裂项求和的思想得到结论。
第三问中,
又
结合放缩法得到。
解:(1)∵ ∴
∴
∴ ∴ ………2分
又∵正项数列,∴ ∴
又n=1时,
∴ ∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列……………3分
∴ …………………4分
∴ …………………5分
(2) …………………6分
∴
…………………9分
(3)
…………………12分
又
,
∴不等式 对任意的,都成立.
(本大题18分)
阅读下面所给材料:已知数列{an},a1=2,an=3an–1+2,求数列的通项an。
解:令an=an–1=x,则有x=3x+2,所以x= –1,故原递推式an=3an–1+2可转化为:
an+1=3(an–1+1),因此数列{an+1}是首项为a1+1,公比为3的等比数列。
根据上述材料所给出提示,解答下列问题:
已知数列{an},a1=1,an=3an–1+4,
(1)求数列的通项an;并用解析几何中的有关思想方法来解释其原理;
(2)若记Sn=,求Sn;
(3)若数列{bn}满足:b1=10,bn+1=100,利用所学过的知识,把问题转化为可以用阅读材料的提示,求出解数列{bn}的通项公式bn。
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