(三)例题分析: Ⅰ.2004年高考数学题选 1. 设复数ω＝-+i.则1+ω＝ A.–ω B.ω2 C. D. 2．设复数, 则( ) A．–3 B．3 C．-3i D．3i 3. (2004高考数学试题广东B卷14)已知复数z与 2-8i 均是纯虚数,则 z = . Ⅱ.范例分析 ①实数?②虚数?③纯虚数? ①复数z是实数的充要条件是: ∴当m＝2时复数z为实数． ②复数z是虚数的充要条件: ∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数 ③复数z是纯虚数的充要条件是: ∴当m＝1时复数z为纯虚数． [说明]要注意复数z实部的定义域是m≠3.它是考虑复数z是实数.虚数纯虚数的必要条件． 要特别注意复数z＝a+bi为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0． [ ] .所以.代入①得.故选． 解法3:选择支中的复数的模均为.又.而方程右边为2+i.它的实部.虚部均为正数.因此复数z的实部.虚部也必须为正.故选择B． [说明]解法1利用复数相等的条件,解法2利用复数模的性质,解法3考虑选择题的特点． 求:z [分析]确定一个复数要且仅要两个实数a.b.而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a.b确定z． 运算简化． 解:设z=x+yi 将z=x+yi代入|z4|＝|z4i|可得x＝y.∴z=x+xi (2)当|z1|＝13时.即有xx6=0则有x=3或x=2 综上所述故z＝0或z=3+3i或z=-22i [说明]注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有: (3)1+2i+3+-+1000 [说明]计算时要注意提取公因式.要注意利用i的幂的周期性. 要记住常用的数据:... (2)原式 (3)解法1:原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+-+(997+998i9991000i) =250(22i)=500500i 解法2:设S＝1+2i+3+-+1000.则iS＝i+2+3+-+999+1000. ∴(1i)S＝1+i++-+1000 [说明]充分利用i的幂的周期性进行组合.注意利用等比数列求和的方法． [例5](1)若.求: (2)已知.求的值. 解:(1) [例6]已知三边都不相等的三角形ABC的三内角A.B.C满足 . 的值. [解] 得--3分 上式化简为--6分 --9分 当--12分 [例7]设z1=1-cosθ+isinθ.z2=a2+ai(a∈R).若z1z2≠0.z1z2+=0.问在内是否存在θ使(z1-z2)2为实数?若存在.求出θ的值,若不存在.请说明理由． [分析]这是一道探索性问题．可根据复数的概念与纯虚数的性质及复数为实数的充要条件.直接进行解答． [解]假设满足条件的θ存在． 因z1z2≠0.z1z2+=0.故z1z2为纯虚数． 又z1z2=(1-cosθ+isinθ)(a2+ai) =[a2-asinθ]+[a+a2sinθ]i. 于是. 由②知a≠0． 因θ∈.故cosθ≠1．于是.由①得a=． 另一方面.因(z1-z2)2∈R.故z1-z2为实数或为纯虚数．又z1-z2=1-cosθ-a2+(sinθ-a)i.于是sinθ-a=0.或1-cosθ-a2=0． 若sinθ-a=0.则由方程组 得=sinθ.故cosθ=0.于是θ=或θ=． 若1-cosθ-a2=0.则由方程组 得()2=1-cosθ． 由于sin2θ=1-cos2θ=.故1+cosθ=2． 解得cosθ=0.从而θ=或θ=． 综上所知.在内.存在θ=或θ=.使(z1-z2)2为实数． [说明]①解题技巧:解题中充分使用了复数的性质:z≠0.z+=0Ûz∈{纯虚数}Û以及z2∈RÛz∈R或z∈{纯虚数}．(注:Re(z).Im(z)分别表示复数z的实部与虚部) ②解题规律:对于“是否型存在题型 .一般处理方法是首先假设结论成立.再进行正确的推理.若无矛盾.则结论成立,否则结论不成立． [例8]设a为实数.在复数集C中解方程: z2+2|z|=a． [分析]由于z2=a-2|z|为实数.故z为纯虚数或实数.因而需分情况进行讨论． [解]设|z|=r．若a＜0.则z2=a-2|z|＜0.于是z为纯虚数.从而r2=2r–a． 解得 r=(r=＜0.不合.舍去)．故 z=±()i． 若a≥0.对r作如下讨论: (1)若r≤a.则z2=a-2|z|≥0.于是z为实数． 解方程r2=a-2r.得r=(r=＜0.不合.舍去)． 故 z=±()． (2)若r＞a.则z2=a-2|z|＜0.于是z为纯虚数． 解方程r2=2r-a.得r=或r=(a≤1)． 故 z=±()i(a≤1)． 综上所述.原方程的解的情况如下: 当a＜0时.解为:z=±()i, 当0≤a≤1时.解为:z=±().z=±()i, 当a＞1时.解为:z=±()． [说明]解题技巧:本题还可以令z=x+yi代入原方程后.由复数相等的条件将复数方程化归为关于x.y的实系数的二元方程组来求解． [例9](2004年上海市普通高校春季高考数学试卷18) 已知实数满足不等式.试判断方程有无实根.并给出证明. [解]由.解得..方程的判别式. ...由此得方程无实根. [例10]给定实数a.b.c．已知复数z1.z2.z3满足 求|az1+bz2+cz3|的值． [分析]注意到条件(1).不难想到用复数的三角形式,注意到条件(2).可联想使用复数为实数的充要条件进行求解． [解]解法一由=1.可设=cosθ+isinθ.=cosφ+isinφ. 则==cos-isin．因=1.其虚部为0. 故0=sinθ+sinφ-sin=2sincos-2sincos =2sin=4sinsinsin． 故θ=2kπ或φ=2kπ或θ+φ=2kπ.k∈Z．因而z1=z2或z2=z3或z3=z1． 若z1=z2.代入(2)得=±i.此时 |az1+bz2+cz3|=|z1|·|a+b±ci|=． 类似地.如果z2=z3.则|az1+bz2+cz3|=, 如果z3=z1.则|az1+bz2+cz3|=． 解法二由(2)知∈R.故 =. 即=． 由(1)得=(k=1.2.3).代入上式.得=. 即z12z3+z22z1+z32z2=z22z3+z32z1+z12z2.分解因式.得(z1-z2)(z2-z3)(z3-z1)=0. 于是z1=z2或z2=z3或z3=z1．下同解法一． [说明]①解题关键点是巧妙利用复数为实数的充要条件:z∈RÛz=.以及视.等为整体.从而简化了运算． ②解题易错点是拿到问题不加分析地就盲目动笔.而不注意充分观察题目的已知条件.结论特征等.从而使问题的求解或是变得异常的复杂.或干脆就无法解出最终的结果． 【
查看更多】
题目列表(包括答案和解析)
