(四)巩固练习: 设复数z=3cosθ+2isinθ.求函数y=θ-argz的最大值以及对应角θ的值． [分析]先将问题实数化.将y表示成θ的目标函数.后利用代数法(函数的单调性.基本不等式等)以及数形结合法进行求解． 解法一.由0＜θ＜.得tanθ＞0.从而0＜argz＜． 由z=3cosθ+2isinθ.得 tan(argz)==tanθ＞0． 于是 tany=tan(θ-argz)===≤=． 当且仅当.即tanθ=时.取“= ． 又因为正切函数在锐角的范围内为增函数.故当θ=arctan时.y取最大值为arctan． 解法二.因0＜θ＜.故cosθ＞0.sinθ＞0.0＜argz＜.且 cos(argz)=.sin(argz)=． 显然y∈(-.).且siny为增函数． siny=sin(θ-argz)=sinθcos(argz)-cosθsin(argz)= ==≤=． 当且仅当.即tanθ=.取“= .此时ymax=arctan． 解法三.设Z1=2(cosθ+isinθ).Z2=cosθ.则Z=Z1+Z2.而Z1.Z2.Z的辐角主值分别为θ.0.argz．如图所示.必有y=∠ZOZ1.且0＜y＜． 在△ZOZ1中.由余弦定理得 cosy== =+≥． 当且仅当4+5cos2θ=6.即cosθ=时.取“= ． 又因为余弦函数在0＜θ＜为减函数.故当θ=arccos时.ymax=arccos． [说明]①解题关键点:将复数问题通过化归转化为实数问题.使问题能在我们非常熟悉的情景中求解．②解题规律:多角度思考.全方位探索.不仅使我们获得了许多优秀解法.而且还使我们对问题的本质认识更清楚.进而更有利于我们深化对复数概念的理解.灵活驾驭求解复数问题的能力．③解题易错点:因为解法的多样性.反三角函数表示角的不唯一性.因而最后的表述结果均不一样.不要认为是错误的． 【
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