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    4．空间向量与空间角和距离的综合 用空间向量解决立体几何问题的基本步骤:(1)用空间向量表示问题中涉及的点.直线.平面.建立立体图形与空间向量的联系.从而把立体几何问题转化为向量问题通过向量运算.研究点.直线.平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题把向量的运算结果“翻译 成相应的几何意义． 例6． 如图.在直四棱柱ABCD-ABCD中.底面ABCD为等腰梯形.AB//CD.AB=4. BC=CD=2. AA=2. E.E.F分别是棱AD.AA.AB的中点． (1) 证明:直线EE//平面FCC, (2) 求二面角B-FC-C的余弦值．w．w．w．k．s．5．u．c．o．m 解析:解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中.取A1B1的中点F1. 连接A1D.C1F1.CF1.因为AB=4. CD=2.且AB//CD. 所以CDA1F1.A1F1CD为平行四边形.所以CF1//A1D. 又因为E.E分别是棱AD.AA的中点.所以EE1//A1D. 所以CF1//EE1.又因为平面FCC.平面FCC. 所以直线EE//平面FCC． (2)因为AB=4. BC=CD=2. .F是棱AB的中点.所以BF=BC=CF.△BCF为正三角形. 取CF的中点O.则OB⊥CF.又因为直四棱柱ABCD-ABCD中.CC1⊥平面ABCD. 所以CC1⊥BO.所以OB⊥平面CC1F. 过O在平面CC1F内作OP⊥C1F.垂足为P.连接BP.则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角. 在△BCF为正三角形中.. 在Rt△CC1F中. △OPF∽△CC1F.∵ ∴. w．w．w．k．s．5．u．c．o．m 在Rt△OPF中... 所以二面角B-FC-C的余弦值为． 解法二:(1)因为AB=4. BC=CD=2. F是棱AB的中点. 所以BF=BC=CF.△BCF为正三角形. 因为ABCD为 等腰梯形.所以∠BAC=∠ABC=60°.取AF的中点M. 连接DM.则DM⊥AB.所以DM⊥CD. 以DM为x轴.DC为y轴.DD1为z轴建立空间直角坐标系. 则D.A(.-1.0).F(.1.0).C.C1.E(..0).E1(.-1.1). 所以.. 设平面CC1F的法向量为则 所以 取.则.所以.所以直线EE//平面FCC． (2).设平面BFC1的法向量为.则所以.取.则. ..所以. 由图可知二面角B-FC-C为锐角.所以二面角B-FC-C的余弦值为． 点评:本题主要考查直棱柱的概念.线面位置关系的判定和二面角的计算．考查空间想象能力和推理运算能力.以及应用向量知识解答问题的能力.向量法求二面角是一种独特的方法.因为它不但是传统方法的有力补充.而且还可以另辟溪径.解决传统方法难以解决的求二面角问题．向量法求二面角通常有以下三种转化方式:①先作.证二面角的平面角.再求得二面角的大小为,②先求二面角两个半平面的法向量(注意法向量的方向要分布在二面角的内外).再求得二面角的大小为或其补角,③先分别在二面角两个半平面内作棱的垂线.又可转化为求两条异面直线的夹角． [思想方法] [例1]在半径为13的球面上有A . B. C 三点.AB=6.BC=8.CA=10.则球心到平面ABC的距离为 ． 答案:12解析:由的三边大小易知此三角形是直角三角形.所以过三点小圆的直径即为10.也即半径是5.设球心到小圆的距离是.则由.可得． [分析]该题体现了方程函数思想的考查.构造方程求解立体几何中的几何量是考题中经常性的问题.其解法一般要根据题意构造方程来求解． [例2]已知二面角α-l-β为 .动点P.Q分别在面α.β内.P到β的距离为.Q到α的距离为.则P.Q两点之间距离的最小值为( ) A．1 B．2 C． D．4 解析:如图分别作 .连 . 又 当且仅当.即重合时取最小值． 故答案选C． [分析]该题考查了函数思想和数形结合思想.立体几何中的最值问题一般要用函数法或均值不等式法.该题通过构造关于的函数.借助图象看出当重合时取最小值． [例3]已知正四棱柱中.=.为重点.则异面直线与所形成角的余弦值为 A． B． C． D． 解析:本题考查异面直线夹角求法.利用平移.CD'∥BA'.因此求△EBA'中∠A'BE即可.易知EB=.A'E=1.A'B=.故由余弦定理求cos∠A'BE=． 答案:C [分析]该题体现了转化与化归思想的考查.对与异面直线的夹角的求解.一种方法是通过这种平移的方法将所求的夹角转化为三角形中的内角.通过解三角形即可．另一种是利用空间向量这一工具来求解． [专题演练] 【查看更多】

     

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