题目列表(包括答案和解析)
已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为d,为其前n项和,且满足,.数列满足,,为数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式和数列的前n项和;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问利用在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又时,满足,
,
第二问,①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时 需满足.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时取得最小值-6.
此时 需满足.
第三问,
若成等比数列,则,
即.
由,可得,即,
.
(1)(法一)在中,令n=1,n=2,
得 即
解得,, [
又时,满足,
,
.
(2)①当n为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
,等号在n=2时取得.
此时 需满足.
②当n为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.
是随n的增大而增大, n=1时取得最小值-6.
此时 需满足.
综合①、②可得的取值范围是.
(3),
若成等比数列,则,
即.
由,可得,即,
.
又,且m>1,所以m=2,此时n=12.
因此,当且仅当m=2, n=12时,数列中的成等比数列
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,|AB|=3米,|AD|=2米,
(I)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?
(II)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
(Ⅲ)若AN的长度不少于6米,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积.
【解析】本题主要考查函数的应用,导数及均值不等式的应用等,考查学生分析问题和解决问题的能力 第一问要利用相似比得到结论。
(I)由SAMPN > 32 得 > 32 ,
∵x >2,∴,即(3x-8)(x-8)> 0
∴2<X<8/3,即AN长的取值范围是(2,8/3)或(8,+)
第二问,
当且仅当
(3)令
∴当x > 4,y′> 0,即函数y=在(4,+∞)上单调递增,∴函数y=在[6,+∞]上也单调递增.
∴当x=6时y=取得最小值,即SAMPN取得最小值27(平方米).
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