题目列表(包括答案和解析)
在边长为的正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,M、N分别为AB、CF的中点,现沿AE、AF、EF折叠,使B、C、D三点重合,构成一个三棱锥.
(I)判别MN与平面AEF的位置关系,并给出证明;
(II)求多面体E-AFMN的体积.
【解析】第一问因翻折后B、C、D重合(如下图),所以MN应是的一条中位线,则利用线线平行得到线面平行。
第二问因为平面BEF,……………8分
且,
∴,又 ∴
(1)因翻折后B、C、D重合(如图),
所以MN应是的一条中位线,………………3分
则.………6分
(2)因为平面BEF,……………8分
且,
∴,………………………………………10分
又 ∴
如图,边长为2的正方形ABCD,E是BC的中点,沿AE,DE将折起,使得B与C重合于O.
(Ⅰ)设Q为AE的中点,证明:QDAO;
(Ⅱ)求二面角O—AE—D的余弦值.
【解析】第一问中,利用线线垂直,得到线面垂直,然后利用性质定理得到线线垂直。取AO中点M,连接MQ,DM,由题意可得:AOEO, DOEO,
AO=DO=2.AODM
因为Q为AE的中点,所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
第二问中,作MNAE,垂足为N,连接DN
因为AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM
,因为AODM ,DM平面AOE
因为MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=
(1)取AO中点M,连接MQ,DM,由题意可得:AOEO, DOEO,
AO=DO=2.AODM
因为Q为AE的中点,所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
(2)作MNAE,垂足为N,连接DN
因为AOEO, DOEO,EO平面AOD,所以EODM
,因为AODM ,DM平面AOE
因为MNAE,DNAE, DNM就是所求的DM=,MN=,DN=,COSDNM=
二面角O-AE-D的平面角的余弦值为
设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表,满足:每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零,记s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。
对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)为A的第j列各数之和(1≤j≤n):
记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
(1) 对如下数表A,求K(A)的值;
1 |
1 |
-0.8 |
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)设数表A∈S(2,3)形如
1 |
1 |
c |
a |
b |
-1 |
求K(A)的最大值;
(3)给定正整数t,对于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值。
【解析】(1)因为,
所以
(2) 不妨设.由题意得.又因为,所以,
于是,,
所以,当,且时,取得最大值1。
(3)对于给定的正整数t,任给数表如下,
… |
|||
… |
任意改变A的行次序或列次序,或把A中的每一个数换成它的相反数,所得数表
,并且,因此,不妨设,
且。
由得定义知,,
又因为
所以
所以,
对数表:
1 |
1 |
… |
1 |
… |
||
… |
-1 |
… |
-1 |
则且,
综上,对于所有的,的最大值为
已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆C;其长轴长等于4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且?若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解,直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中,可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
第二问中,
假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范围。
(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
(Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
则.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率k的取值范围是
p |
k2 |
p |
k |
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