练习册

  • 练习册
  • 试题
    [必做题] 第22.23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
    文字说明、证明过程或演算步骤。http://www.mathedu.cn
    22. （本小题满分10分）
    如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。
    （1）当时，求的长；
    （2）当时，求的长。

    查看答案和解析>>

     [选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    A． 选修4-1：几何证明选讲

     

    AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

    B． 选修4-2：矩阵与变换

     

    在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=,N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

    C． 选修4-4：坐标系与参数方程

     

    在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

     

    D． 选修4-5：不等式选讲

     

    设a、b是非负实数，求证：。

     

    [必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

     

     

    查看答案和解析>>

    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

    1.      2.       3.     4.      5.68      6. 4      7. 7      8.

    9.     10. 若点P在两渐近线上的射影分别为、，则必为定值

    11.②③          12.         13.1        14.

     

    二、解答题：本大题共6小题，计90分.

    15. 解: (Ⅰ)因为,∴,则…………………………………………(4分)

      ∴……………………………………………………………………………(7分)

       (Ⅱ)由,得,∴…………………………………………(9分)

       则 …………………………………………(11分)

    由正弦定理,得,∴的面积为………………………(14分)

    16. (Ⅰ)解:因为,,且,

    所以……………………………………………………………………………………………(4分)

       又,所以四边形为平行四边形,则……………………………………(6分)

       而,故点的位置满足………………………………………………………(7分)

    (Ⅱ)证: 因为侧面底面,,且,

    所以,则…………………………………………………………………(10分)

       又,且,所以 …………(13分)

       而,所以…………………………………………………(14分)

    17. 解:(Ⅰ)因为,所以的面积为()………………………(2分)

       设正方形的边长为,则由,得,

    解得,则…………………………………………………………………(6分)

       所以,则 ………………(9分)

       (Ⅱ)因为,所以……………(13分)

       当且仅当时取等号,此时.所以当长为时,有最小值1…………………(15分)

    18. 解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………………………………(3分)

    则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)

    (Ⅱ)设,则,且…………………………(7分)

    ==,所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)

    (Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,

    ,由,得 ………(11分)

      因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得………………………………(13分)

      同理,,所以=

      所以,直线和一定平行…………………………………………………………………………(15分)

    19. (Ⅰ)解:因为…………………………………(2分)

    由；由,所以在上递增,

    在上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)

    欲在上为单调函数,则………………………………………………………(5分)

    (Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)

     又,所以在上的最小值为 …………………………………(9分)

     从而当时,,即…………………………………………………………(10分)

    (Ⅲ)证:因为,所以即为,

       令,从而问题转化为证明方程=0

    在上有解,并讨论解的个数……………………………………………………………………(12分)

       因为,,所以

       ①当时,,所以在上有解,且只有一解 ……(13分)

    ②当时,,但由于,

    所以在上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)

    ③当时,,所以在上有且只有一解；

    当时,,

    所以在上也有且只有一解…………………………………………………………(15分)

    综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

    且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意…………(16分)

    (说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)

    20.（Ⅰ）解：由题意得,,所以=……………………(4分)

    （Ⅱ）证:令,,则=1………………………………………………(5分)

    所以=（1）,=（2）,

    （2）―（1）,得―=,

    化简得（3）……………………………………………………………(7分)

    （4）,（4）―（3）得 …………(9分)

    在（3）中令,得,从而为等差数列 …………………………………………(10分)

    （Ⅲ）记,公差为,则=…………………(12分)

    则,

    …………………………………………(14分)

    则,当且仅当,即时等号成立……………(16分)

     

     

    数学附加题部分

    21.A．（几何证明选讲选做题）

    解：因为PB=PD+BD=1+8=9,=PD?BD=9,PA=3,AE=PA=3,连结AD,在中,得……(5分)

    又,所以 …………………………………………………………………(10分)

    B．（矩阵与变换选做题）

    解: (Ⅰ)设,则有=,=,

    所以,解得 …………………………………………………………(4分)

    所以M=,从而= ………………………………………………………………(7分)

    (Ⅱ)因为且m：2，

    所以2(x+2y)－(3x+4y)=4,即x+4 =0,这就是直线l的方程 ………………………………………(10分)

    C．（坐标系与参数方程选做题）

    解：将极坐标方程转化为普通方程：……………………………………………(2分)

       可化为…………………………………………………………(5分)

    在上任取一点A,则点A到直线的距离为

    ,它的最大值为4 ……………………………(10分)

    D．（不等式选讲选做题）

    证:左=…(5分)

      ……………………(10分)

    22．解:以OA、OB所在直线分别x轴，y轴,以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，…(2分)

    （Ⅰ）设平面PDB的法向量为

    同步练习册答案