求证：；

 

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(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：.

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第Ⅰ部分（正卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

1、    2、    3、对任意使    4、2    5、

6、    7、    8、8      9、        10、40

11、    12、4       13、    14、

二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。

15、解：（1）解：，

由，有，

解得。                                         ……7分

（2）解法一：       ……11分

             。  ……14分

  解法二：由（1），，得

∴   

∴                                        ……10分

于是，

               ……12分

代入得。            ……14分

16、证明：（1）∵

∴                                          ……4分

（2）令中点为，中点为，连结、

     ∵是的中位线

∴           ……6分   

又∵

∴

∴     ……8分

     ∴

     ∵为正

∴         ……10分

     ∴

     又∵，

 ∴四边形为平行四边形    ……12分

∴

∴    ……14分

17、解：（1）设米，，则

∵

∴

∴                                                ……2分

∴

∴                                            ……4分

∴

∴或                                            ……5分

（2）                   ……7分

     此时                                               ……10分

（3）∵

令，                       ……11分

∵

当时，

∴在上递增                       ……13分

∴

此时                                                ……14分

答：（1）或

    （2）当的长度是4米时，矩形的面积最小，最小面积为24平方米；

    （3）当的长度是6米时，矩形的面积最小，

最小面积为27平方米。                              ……15分

18、（1）解：①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。   ……2分

②若直线斜率存在，设直线为，即。

由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：，

解之得                                                  ……5分

所求直线方程是，                            ……6分

（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为

由得                       ……8分

又直线与垂直，由得 ……11分

∴

……13分

             为定值。

   故是定值，且为6。                            ……15分

19、解：（1）由题意得，                             ……2分

∴，    ∴    ……3分

∴，∴在是

单调增函数，                                             ……5分

∴对于恒成立。      ……6分

（2）方程；   ∴  ……7分

     ∵，∴方程为                      ……9分

     令，，

      ∵，当时，，∴在上为增函数；

     时，，  ∴在上为减函数，    ……12分

     当时，                     ……13分

，            

∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当，即时，方程无解。

②当，即时，方程有一个根。

③当，即时，方程有两个根。    ……16分

第Ⅱ部分（附加卷）

一、必做题

21、解：（1）由