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    (二)范例分析 Ⅰ.2004年高考数学题选 1.(2004高考数学试题已知复数z1=3+4i, z2=t+i, 且是实数.则实数t=( ) A． B． C．- D．- 2.当时.复数在复平面上对应的点位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是( C ) A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆 Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析: 1．化归思想 复数的代数.几何.向量及三角表示.把复数与实数.三角.平面几何和解析几何有机地联系在一起.这就保证了可将复数问题化归为实数.三角.几何问题.反之亦然.这种化归的思想方法应贯穿复数的始终. [分析]这是解答题.由于出现了复数和.宜统一形式.正面求解. 解法一.设z＝x+yi.原方程即为 用复数相等的定义得: ∴=1.=1+3i. 两边取模.得: 整理得 解得 或 代入①式得原方程的解是=1.=1+3i. [例2]设复数z=cosθ+isinθ(0＜ [解]∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ+isin4θ 即.又∵0＜θ＜π.当时.或 [说明]此题转化为三角问题来研究.自然.方便. [例3]设a.b.x.y∈R+.且. 求证: 分析令=ax+byi.==bx+ayi.则问题化归为证明: ||+||≥r(a+b). 证明设=ax+byi.=bx+ayi.则 =|·r. 解如图所示.设点Q.P.A所对应的复数为: 即(x3a+yi)·(i)＝(x3a+yi) 由复数相等的定义得 而点(x.y)在双曲线上.可知点P的轨迹方程为 [说明]将复数问题化归为实数.三角.几何问题顺理成章.而将实数.三角.几何问题化归为复数问题.就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力.善于根据题设构造恰到好处的复数.可使问题迎刃而解. 2．分类讨论思想 分类讨论是一种重要的解题策略和方法.在复数中它能使复杂的问题简单化.从而化整为零.各个击破.高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法. [例5]设a≥0.在复数集C中解方程z+2|z|=a. 分析一般的思路是设z=x+yi.或z=r.若由z+2|z|=a转化为z=a2|z|.则z∈R.从而z为实数或为纯虚数.这样再分别求解就方便了. 总之.是一个需要讨论的问题. [解]解法一∵z=a2|z|∈R.∴z为实数或纯虚数. ∴问题可分为两种情况: (1)若z∈R.则原方程即为|z|+2|z|a=0. (2)若z为纯虚数.设z=yi.则原方程即为|y|2|y|+a=0 当a=0时.|y|=2即z=±2i. 当0＜a≤1时. 当a＞1时.方程无实数解.即此时原方程无纯虚数解. 综上所述.原方程: 当a=0时.解为z＝0或z=±2i 解法二设z=x+yi.x.y∈R.将原方程转化为 3．数形结合思想 数与形是数学主要研究内容.两者之间有着紧密的联系和互相渗透.互相转化的广阔前景.复平面的有关试题正是它的具体表现.运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一.应引起注意. [例6]已知|z|=1.且z+z＝1.求z. [解]由z+z=1联想复数加法的几何性质.不难发现z.z.1所对应的三点A.B.C及原点O构成平行四边形的四个顶点.如图所示. [说明]这样巧妙地运用联想思维.以数构形.以形思数.提炼和强化数形结合的思想方法.有利于培养学生思维的深刻性. [例7]复平面内点A对应复数z.点B对应复数为.O为原点.△AOB是面积为的直角三角形.argz∈(0.).求复数z的值． [分析]哪一个角为直角.不清楚.需要讨论． [解]因|OA|=|z|＞||=|OB|.故∠A不可能是直角.因而可能∠AOB=90º或∠ABO=90º． 若∠AOB=90º.示意图如图1所示．因z与所对应的点关于实轴对称.故argz=45º, S△AOB=|OA|·|OB|=|z|·||=|z|2=．于是.|z|=2. 从而.z=2(cos45º+isin45º)=+i． 若∠ABO=90º.示意图如图2所示．因z与所对应的点关于实轴对称.且∠AOB＜90º.故argz=θ＜45º． 令z=r(cosθ+isinθ).则 cos2θ==.sin2θ=.S△AOB=|OA|·|OB|·sin2θ =r·r·=r2=． 于是.r=． 又cosθ==. sinθ==. 故z=(+i)=2+i． 综上所述.z=+i或z=2+i． [说明]①解题关键点:正确地对直角的情况进行分类讨论.正确地理解复数的几何意义.作出满足条件的示意图． ②解题规律:复数的几何意义来源于复数z=a+bi与复平面上的点(a.b)之间的一一对应.它沟通了复数与解析几何之间的联系.是数形结合思想的典型表示． ③解题技巧:复数z与它的共轭复数在复平面内对应的向量关于实轴对称． ④这样巧妙地以形译数.数形结合.不需要计算就解决了问题.充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用. 4．集合对应思想 [例8]如图所示.在复平面内有三点P.P.P对应的复数 应的复数为a.2a.3a.且它们有相同的辐角主值θ.即A.P.P.P共线. 从而2sinθ＝2 因此有a=±2i. 5．整体处理思想 解复数问题中.学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题.这样常常给解题带来繁琐的运算.导致解题思路受阻.因此在复数学习中.有必要提炼和强化整体处理的思想方法.居高临下地把握问题的全局.完善认识结构.获得解题的捷径.从而提高解题的灵活性及变通性. [例9]已知z=2i.求z3z+z+5z+2的值. [分析]如果直接代入.显然比较困难.将z用三角式表示也有一定的难度.从整体角度思考.可将条件转化为(z2)=(i)=1.即z4z+4=1.即z4z+5=0.再将结论转化为z3z+z+5z+2=(z4z+5)(z+z)+2.然后代入就不困难了. [解]∵z=2i.∴(z2)=(i)=1 即z4z+5=0 ∴z3z+z+5z+2=(z4z+5)(z+z)+2=2. [例10]已知.求. [解]解由条件得 [说明]把题中一些组合式子视作一个“整体 .并把这个“整体 直接代入另一个式子.可避免由局部运算带来的麻烦. [例11]复平面上动点z的轨迹方程为:|zz|＝|z|.z≠0.另一动点z满足z·z=1.求点z的轨迹. 解由|zz|＝|z|.知点z的轨迹为连结原点O和定点z的线段的垂直平分线. 将此式整体代入点z1的方程.得 的圆. [例12]设z∈c.a≥0.解方程z|z|+az+i=0. 边取模.得 [说明]解复数方程.可通过整体取模.化为实数方程求解. 综上所述.解答复数问题.应注意从整体上去观察分析题设的结构特征.挖掘问题潜在的特殊性和简单性.充分利用复数的有关概念.共轭复数与模的性质.复数的几何意义以及一些变形技巧.对问题进行整体化处理.可进一步提高灵活.综合应用知识的能力. 6．有关最值问题的多角度思考 [例13]复数z满足条件|z|=1.求|2zz+1|的最大值和最小值. 解法一|z|=1.∴z=cosθ+isinθ ∴|2zz+1|=|2+1| =|(2cos2θcosθ+1)+(2sin2θsinθ)i| ∴|2zz+1|=|2zz+| 设z的实部为a.则1≤a≤1 |2zz+1|=|2a+z1| . ∴|2zz+1|=4 解法三:设ω=x+yi.z=a+bi且a+b=1. 这说明ω对应的点是如图所示的椭圆.问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值. 时的圆的半径. 得8x2x+89r＝0. 由相内切条件知Δ=0, 解法四由模不等式: |2zz+1|≤2|z|+|z|+1=4.等号成立的条件是2z.z.1所对应的向量共线且同向.可知z是负实数.在|z|=1的条件下.z=-1 ∴当z=1时|2zz+1|=4. 但另一方面:|2zz+1|≥2|z||z|1=0.这是显然成立的.可是这不能由此确定|2zz+1|=0.实际上等号成立的条件应为2z.z.1表示的向量共线且异向.由2z与1对应的向量共线且异向知z=±i.但是当z=±i时.2z与z不共线.这表明|2zz+1|的最小值不是0. 以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误.此部分内容既为重点也为难点.应向学生强调说明.并举例.切记取等号的条件. [例14]2001年普通高等学校招生全国统一考试 已知复数z1＝i(1-i)3． (Ⅰ)求argz1及|z|, (Ⅱ)当复数z满足|z|＝1.求|z-z1|的最大值． [分析]本小题考查复数的基本性质和基本运算.以及分析问题和解决问题的能力． [解](Ⅰ) ∴.|z1|＝． (Ⅱ)设.则 当时.取得最大值.从而得到的最大值为． 【查看更多】

     

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