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    19．已知斜三棱柱...在底面上的射影恰为的中点.又知. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题共14分）
    已知函数.
    （I）判断函数的单调性；
    （Ⅱ）若+的图像总在直线的上方，求实数的取值范围；
    （Ⅲ）若函数与的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数的值.

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    (本小题共14分）

    已知函数（）．

    （Ⅰ）求函数的单调递减区间；

    （Ⅱ）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围．

     

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    （本小题共14分）

    已知函数在时取得极值，曲线在处的切线的斜率为；函数，，函数的导函数的最小值为．

    （Ⅰ）求函数的解析式；

    （Ⅱ）求实数的值；

    (Ⅲ) 求证：．

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    （本小题共14分）
    已知椭圆的中点在原点O，焦点在x轴上，点是其左顶点，点C在椭圆上且
    （I）求椭圆的方程；
    （II）若平行于CO的直线和椭圆交于M，N两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.

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    （本小题共14分）
    已知椭圆的离心率为
    （I）若原点到直线的距离为求椭圆的方程；
    （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点.
    （i）当，求b的值；
    （ii）对于椭圆上任一点M，若，求实数满足的关系式.

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    一、选择题

    1．选D。提示：在映射f作用下，四边形ABCD整体平移，面积不变

    2,4,6

    3．选B。提示：3的对面的数字是6，4 的对面的数字是2，故。

    4．选B。提示：设A∪B元素个数为y，可知10≤y≤16, y∈N，又由x = 18－y可得。

    5．选A。提示： 可知为一条对称轴。

    6．选A。提示：依题意:课外兴趣味小组由4名女生2名男生组成，共有种选法.其概率为

    7．选C。提示：设代入得，记，

    ，，，。

    8．选A。提示：  

    9．选B。提示：原方程两边立方并整理得，，显然，，由于 在 上是增函数，且，，所以。

    10．选C。提示：①正确；②正确，即为公垂线AB的中垂面；③正确，过AB中点作 的平行线，则的平分线符合条件；④不正确，关于对称的两条异面线段的中点与共线。

    二、填空题

    11．。提示：最小系数为。

    12．。提示：，

    13．11．提示：，，取。

    14．。提示：由已知，，即，由线性规划知识知，当，时达到最大值。

    15．。提示：令，则，因为，所以

    0

    1

    2

     

     

     

     

     

     

           。

    17．。提示：令，得；令，得；令，得；令，得；故。

    三、解答题

    18．解：（I）

    ――――7分

    （II）因为为锐角，且，所以。――――9分

    ――14分

    19．解：（I）因为平面，

    所以平面平面，

    又，所以平面，

    得，又

    所以平面；――――4分

    （II）因为，所以四边形为 

    菱形，

    故，又为中点，知。

    取中点，则平面，从而面面，

           过作于，则面，

           在中，，故，

           即到平面的距离为。――――9分

           （III）过作于，连，则，

           从而为二面角的平面角，

           在中，，所以，

    在中，，

           故二面角的大小为。14分

     

           解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，

           所以，又平面，

           以为轴建立空间坐标系，

           则，，，

    ，，

    ，，

    ，由，知，

           又，从而平面；――――4分

           （II）由，得。

           设平面的法向量为，，，所以

    ，设，则

           所以点到平面的距离。――9分

           （III）再设平面的法向量为，，，

           所以

    ，设，则，

           故，根据法向量的方向，

           可知二面角的大小为。――――14分

    20．解：（I）设，则，因为 ，可得；又由，

           可得点的轨迹的方程为。――――6分（没有扣1分）

           （II）假设存在直线，代入并整理得

    ，――――8分

           设，则   ――――10分

           又

          

    ，解得或――――13分

           特别地，若，代入得，，此方程无解，即。

           综上，的斜率的取值范围是或。――――14分

    21．解：（I）

           （1）当时，函数是增函数，

           此时，，

    ，所以；――2分

           （2）当时，函数是减函数，此时，，

    ，所以；――――4分

           （3）当时，若，则，有；

           若，则，有；

           因此，，――――6分

           而，

           故当时，，有；

           当时，，有；――――8分

    综上所述：。――――10分

           （II）画出的图象，如右图。――――12分

           数形结合，可得。――――14分

    22．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.

           （1）当n=1时,由已知得结论成立;

           （2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,

           因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.

           又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.

           故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.――――4分

           又由, 得,从而.

           综上可知――――6分

           (Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

           由,知g(x)在(0,1)上增函数.

           又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.

        因为,所以,即>0,从而――――10分

           (Ⅲ) 因为 ,所以, ,

           所以   ――――① , ――――12分

           由(Ⅱ)知:,  所以= ,

           因为, n≥2,

        所以 <<=――――② .  ――――14分

           由①② 两式可知: .――――16分


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