12．若f1(x)＝3|x-p1|.f2(x)＝2·3|x-p2|.x∈R.p1.p2为常数.且 f(x)＝(1)求f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件(用p1.p2表示),(2)设a.b是两个实数.满足a<b.且p1.p2∈(a.b)．若f(a)＝f(b).求证:函数f(x)在区间[a.b]上的单调增区间的长度之和为(闭区间[m.n]的长度定义为n-m)． 解:(1)f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3|x-p1|≤2·3|x-p2|⇔3|x-p1|-|x-p2|≤2 ⇔|x-p1|-|x-p2|≤log32.(*)若p1＝p2.则(*)⇔0≤log32.显然成立,若p1≠p2.记g(x)＝|x-p1|-|x-p2|.当p1>p2时.g(x)＝ 所以g(x)max＝p1-p2.故只需p1-p2≤log32. 当p1<p2时.g(x)＝所以g(x)max＝p2-p1.故只需p2-p1≤log32. 综上所述.f(x)＝f1(x)对所有实数x成立的充要条件是|p1-p2|≤log32. (2)证明:分两种情形讨论． ①当|p1-p2|≤log32时.由(1)知f(x)＝f1(x)(对所有实数x∈[a.b]).则由f(a)＝f(b)及a<p1<b易知p1＝.再由f1(x)＝的单调性可知.f(x)在区间[a.b]上的单调增区间的长度为b-＝. ②当|p1-p2|>log32时.不妨设p1<p2.则p2-p1>log32.于是.当x≤p1时.有f1(x)＝3p1-x<3p2-x<f2(x).从而f(x)＝f1(x)． 当x≥p2时.f1(x)＝3x-p1＝3p2-p1·3x-p2>3log32·3x-p2＝f2(x).从而f(x)＝f2(x)． 当p1<x<p2时.f1(x)＝3x-p1及f2(x)＝2·3p2-x.由方程3x0-p1＝2·3p2-x0.解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为x0＝+log32.① 显然p1<x0＝p2-[(p2-p1)-log32]<p2.这表明x0在p1与p2之间． 由①易知f(x)＝ 综上可知.在区间[a.b]上.f(x)＝ 故由函数f1(x)与f2(x)的单调性可知.f(x)在区间[a.b]上的单调增区间的长度之和为(x0-p1)+(b-p2).由于f(a)＝f(b).即3p1-a＝2·3b-p2.得 p1+p2＝a+b+log32.② 故由①②得(x0-p1)+(b-p2)＝b-(p1+p2-log32)＝. 【
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