为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高之比为1：2：2：20：5，最右边一组的频数是20，请结合直方图的信息，解答下列问题；
（Ⅰ）样本容量是多少？
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在该样本中抽取30个学生的成绩作进一步调查，问成绩在120分到150分的学生有几个？
（Ⅲ）已知成绩在120分到150分的学生中，至少有5个是男生，求成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的概率．

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为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高之比为1：2：2：20：5，最右边一组的频数是20，请结合直方图的信息，解答下列问题；
（Ⅰ）样本容量是多少？
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在该样本中抽取30个学生的成绩作进一步调查，问成绩在120分到150分的学生有几个？
（Ⅲ）已知成绩在120分到150分的学生中，至少有5个是男生，求成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的概率．

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为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

分组	频数	频率
50.5～60.5	4	0.08
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	16	0.32
90.5～100.5
合计	50

（Ⅰ）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（Ⅱ）补全频数直方图；
（Ⅲ）学校决定成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？

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为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：

分组	频数	频率
50.5～60.5	4	0.08
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	16	0.32
90.5～100.5
合计	50

（Ⅰ）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；
（Ⅱ）补全频数直方图；
（Ⅲ）学校决定成绩在75.5～85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？

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某中学举行了一次“上海世博会知识竞赛”，从全校参加竞赛的学生的试卷中，随机抽取了一个样本，考察竞赛的成绩分布（得分均为整数，满分100分），将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右各小组的长方形的高之比为1：3：6：4：2，最右边一组的频数是6．请结合直方图提供的信息，解答下列问题：
（Ⅰ）样本容量是多少？
（Ⅱ）成绩落在那个范围内的人数最多？并求该小组的频数、频率；
（Ⅲ）估计这次竞赛中，成绩高于60分的学生占总人数的百分比．

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说明：

    一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细

则。

    二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程

度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答

有较严重的错误，就不再给分。

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1．B   2．A  3．B  4．A  5．B   6．C  7．A  8．B   9．C  10．B  11．D  12．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．1     14．      15．5      16．8

三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

17．本题主要考查平面向量的数量积，两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，满分12分。

解：

  （I）

………………………………………2分

  即函数的解析式为 ?????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ） ??????????????????????????????????????? 6分

所以函数最小正周期???????????????????????????????????????????????????? 8分

当即时

取最大值，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

使函数取最大值的的集合为???????????????????????????????? 12分

18．本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考察空间想象能力及推理论证能力，满分12分。

解（I）由三视图知这个多面体是一个水平放置的柱体，它的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面且长为       2分

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ）连结

四边形是平行四边形，

过点。

为的中点，………………………………………8分

又是的中点，

，

平面平面

平面…………………………………………12分

19．本题主要考等差数列、数列求和等基础知识：考查推理论证与运算求解能力；考查化归与转化思想，满分12分。

解（I）点在函数的图象上，

数列是以首项为2公差为2的等差数列，???????????????????????????????????????? 2分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

???????????????????????? 10分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识。

满分12分。

解：（I）设样本容量为，则，所以

所以样本的容量为120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）设成绩在120分到150分的学生有个，

则，所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅲ）设成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的事件记为A，男生数与女生书记为数对（），则基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），

（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），

（18，2），（19，1），（20，0），共16对????????????????????????????????????????????????? 9分

而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），

（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10对。

所以??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想。满分12分。

解：（I）

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

依题意得??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）

等价于???????????????????????????????????????????????????? 6分

①当时恒成立，

的单调递增区间为?????????????????????????????????????????????????????????? 8分

②当时，由得

的单调递增区间为?????????????????????????????????????????????????????? 11分

综上所述：当时的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为???????????????????????????????????????? 12分

22．本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想。满分14分。

解：（I）设椭圆E的方程为

由已知得：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

椭圆E的方程为?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）设，线段中点的坐标为，则：

由得

化简得：

……5分

直线过点

而点在椭圆E内，

?????????????????????????????????????????????????????????? 6分

所以PQ中垂直的方程为：

所以直线在轴上的截距??????????????????????????????????????? 8分

??????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）假设存在符号条件的点，则由（Ⅱ）得：

         ????????????????????????????????????????????????? 10分

????????????????????????? 11分

所以

            ?????????????????????????????????????????? 12分

设

即

对于任意实数，上式恒成立，

所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

得

所以符合条件的点存在，其坐标为???????????????????????????????????????????? 14分