过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如图所示)，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 (　  )

A．y²＝9x　        　　B．y²＝6x

C．y²＝3x　　　        D．y²＝x

 

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如图，过抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，|AF|＝3，则此抛物线的方程为

[　　]

A．

y²＝9x

B．

y²＝6x

C．

y²＝3x

D．

y²＝x

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一、选择题

1．D   2．B   3．C   4．D   5．B   6．C   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空题

11．　　12．　　13．　　14．2+　　15．

三、解答题

16．⑴∵                                                                               1分

＝                                                                                                 3分

又由得    ∴                            5分

故，f (x)_max＝1+2×1＝3                                          6分

⑵＜2在上恒成立时        9分

结合⑴知：  故m的取值范围是（1，4）                        12分

17．⑴连结AC，△ABC为正△，又E为BC中点，∴AE⊥BC又AD∥BC

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

故AD为PD在平面ABCD内的射影，由三垂线定理知：AE⊥PD。        4分

⑵连HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE为EH与平面PAD所成线面角         5分

而tan∠AHE＝故当AH最小即AH⊥PD时EH与平面PAD所成角最大

                                                                                                               6分

令AB＝2，则AE＝，此时

∴AH＝，由平几知识得PA＝2                                                          7分

因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC

过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO

为二面角E―AF―C的平面角                                                                 9分

在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30^o＝，AO＝AE?cos30^o＝

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45^o＝

又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝

即所求二面角的余弦值为                                                                                      12分

注：向量法及其它方法可参照给分。

18．⑴设平均数为，                     

即测量50次的平均值为70米                                                                    4分

⑵                                                                                              7分

⑶每一次测得数据为71米的概率为                                           10分

故所求概率                                                         12分

19．⑴容器底面是边长为(2－2x)的正三角形，高为x

∴　∴

故定义域为

⑵，                                            5分

令V'＝0得x＜或x＞1；V'＜0得

∴V在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减

当时，x＝时，V最大，V_max＝V()＝

当即时，由V在(0，)上递增知

x＝时，V最大，V_max＝

20．⑴由得ax²＋(2a－1)x＝0(a≠0)

∴当且仅当时，有唯一解x＝0，∴

当得x₁＝2，由

∴数列是首项为，公差为的等差数列

∴                                                           7分

⑵　又

∴　且a_n＞0，a₂＝

∴

即

当n≥2时，

故

21．⑴设椭圆方程为，F(c，0)

则AB∶y＝x－c代入得(a²＋b²)x²－2a²cx＋a²c²－a²b²＝0

令A(x₁、y₁)、B(x₂、y₂)，则

由与共线

得3(y₁＋y₂)＋(x₁＋x₂)＝0，又y₁＝x₁－c，y₂＝x₂－c

∴3(x₁＋x₂－2c)＋(x₁＋x₂)＝0，∴x₁＋x₂＝

∴即a²＝3b²，故                              7分

⑵由⑴知a²＝3b²，椭圆方程可化为x²＋3y²＝3b²

设＝(x，y)，则(x，y)＝λ(x₁，y₁)＋μ(x₂，y₂)

∴

∵M(x，y)在椭圆上

∴(λx₁＋μx₂)²＋(λy₂＋μy₂)²＝3b²

即λ²(x₁²＋3y₁²)＋μ²(3x₂²＋3y₂²)＋2λμ(x₁x₂＋3y₁y₂)＝3b²　　①

由⑴知，x₁＋x₂＝，a²＝，b²＝

∴x₁x₂＝

∴x₁x₂＋3y₁y₂＝x₁x₂＋3(x₁－c)(x₂－c)＝4x₁x₂－3(x₁＋x₂)c＋3c²

           ＝

又x₁²＋3y₁²＝3b²，x₂²＋3y₂²＝3b²代入①得λ²＋μ²＝1                         14分