查看答案和解析>>

C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系下，已知圆O：和直线，
（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标.
D．选修4-5：不等式证明选讲
对于任意实数和，不等式恒成立，试求实数的取值范围．

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

查看答案和解析>>

一、选择题

1．D   2．B   3．C   4．D   5．B   6．C   7．C   8．D   9．C   10．D

二、填空题

11．真　　12．　　13．　　14．2＋　　15．－2

三、解答题

16．⑴∵                                                                               1分

＝                                                                                                 3分

又由得    ∴                            5分

故，f (x)_max＝1＋2×1＝3                                         6分

⑵＜2在上恒成立时        9分

结合⑴知：  故m的取值范围是（1，4）                        12分

17．⑴连结AC，△ABC为正△，又E为BC中点，∴AE⊥BC又AD∥BC

∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD

故AD为PD在平面ABCD内的射影，由三垂线定理知：AE⊥PD。        4分

⑵连HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE为EH与平面PAD所成线面角         5分

而tan∠AHE＝故当AH最小即AH⊥PD时EH与平面PAD所成角最大

                                                                                                               6分

令AB＝2，则AE＝，此时

∴AH＝，由平几知识得PA＝2                                                          7分

因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC

过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO

为二面角E―AF―C的平面角                                                                 9分

在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝，AO＝AE?cos30°＝

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝

又SE＝，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝

即所求二面角的余弦值为                                                                                      12分

注：向量法及其它方法可参照给分。

18．⑴P_甲＝0.8×0.85＝0.68，P_乙＝0.75×0.8＝0.6                                         3分

⑵随机变量ξ、η的分布列如下：

ξ

5

2.5

η

2.5

1.5

P

0.68

0.32

P

0.6

0.4

Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1                  7分

⑶由题设知目标函数为z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y               9分

作出可行域（如图）：

作直线l：4.2x＋2.1y＝0，将l向右上方平移到l₁位置时

直线经过可行域上的M点与原点距离最大

此时Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)

即x＝y＝4时，z取最大值25.2。                                                            12分

19．⑴由题设及平面几何知识得

∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线右支由，

∴b²＝c²－a²＝5，故所求P点的轨迹方程为               3分

⑵易知直线x?my?3＝0恒过双曲线焦点B(3，0)

设该直线与双曲线右支相交于D(x_D，y_D)，E(x_E，y_E)由双曲线第二定义知

，又a＝2，c＝3，

∴e＝则                                                               5分

由|DE|＝5，得，从而易知仅当m＝0时，满足|DE|＝5

故所求m＝0                                                                                          7分

⑶设P(x，y)，P₁(x₁、y₁)，P₂(x₂、y₂)且P分有向线段所成的比为λ，则

，又点P(x，y)在双曲线

上，∴，化简得，

又，，∴         9分

令  ∵在上单减，在上单增，

又    ∴在上单减，在上单增，∴u_min＝u(1)＝4，

又，    ∴u_min＝

故的最小值为9，最大值为。

20．⑴由已知，对于n∈N_＋总有①，∴②

①－②得∴

∵a_n＞0，∴∴数列是公差为1的等差数列

又n＝1时，，解得a₁＝1，∴a_n＝n(n∈N_＋)。                    4分

⑵证明：∵a_n＝n，则对任意和，总有         6分

∴

                                                                                                             8分

⑶解：由已知，，

，

易得c₁＜c₂，c₂＞c₃＞c₄＞…猜想n≥2时，是单调递减数列    10分

令，则

∴当x≥3时，f’ (x)<0，故在内f (x)单减                             12分

由a_n＋1＝(c_n)^n＋1知

∴n≥2时，是单减数列，即{c_n}是单减数列，又c₁<c₂

∴{c_n}中最大项为

21．⑴                                          3分

故当x∈(0，1)时＞0，x∈(1，＋∞)时＜0

所以在(0，1)单增，在(1，＋∞)单减                                               5分

由此知在(0，＋∞)内的极大值为＝ln2，没有极小值                 6分

⑵(i)当a≤0时，由于

故关于x的不等式的解集为(0，＋∞)                                          10分

(ii)当a＞0时，由知

其中n为正整数，且有

又n≥2时，且

取整数n_o满足n_o＞－log₂(e－1)，n_o＞且n_o≥2

即

即当a＞0时，关于x的不等式的解集不是(0，＋∞)                13分

综合(i)、(ii)知，存在a使得关于x的不等式的解集为(0，＋∞)且a的取值范围为(－∞，0]

法二：

注：事实上，注意到定义域为(0，＋∞)，只须求之下限

结合(1)，并计算得

故所求a值存在，其范围是(－∞，0]