题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如表所示：
 产品资源 | 甲产品 （每吨） | 乙产品 （每吨） | 资源限额 （每天） |
| 煤（t） | 9 | 4 | 360 |
| 电力（kw·h） | 4 | 5 | 200 |
| 劳力（个） | 3 | 10 | 300 |
| 利润（万元） | 7 | 12 | |
（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如表所示：
|
资源 |
甲产品 （每吨） |
乙产品 （每吨） |
资源限额 （每天） |
|
煤（t） |
9 |
4 |
360 |
|
电力（kw·h） |
4 |
5 |
200 |
|
劳力（个） |
3 |
10 |
300 |
|
利润（万元） |
7 |
12 |
|
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有
两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为
级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率
；
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用
分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求的分布列及
；
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示。该工厂有工人
名，可用资金
万元。设
分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，为何值时，
最大？最大值是多少？（解答时须给出图示说明）
（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：
|
消耗量 资源 |
甲产品（每吨） |
乙产品（每吨） |
资源限额（每天） |
|
煤（t） |
9 |
4 |
360 |
|
电力（kw·h） |
4 |
5 |
200 |
|
劳动力（个） |
3 |
10 |
300 |
|
利润（万元） |
6 |
12 |
|
问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
 产品资源 | 甲产品 （每吨） | 乙产品 （每吨） | 资源限额 （每天） |
| 煤（t） | 9 | 4 | 360 |
| 电力（kw·h） | 4 | 5 | 200 |
| 劳力（个） | 3 | 10 | 300 |
| 利润（万元） | 7 | 12 | |
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空题
11．真 12．
13．
14．2＋
15．－2
三、解答题
16．⑴∵
1分
＝
3分
又由
得
∴
5分
故
，f (x)max＝1＋2×1＝3 6分
⑵
＜2在上恒成立
时
9分
结合⑴知：
故m的取值范围是（1，4） 12分
17．⑴连结AC，△ABC为正△，又E为BC中点，∴AE⊥BC又AD∥BC
∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD
故AD为PD在平面ABCD内的射影，由三垂线定理知：AE⊥PD。 4分
⑵连HA，由EA⊥平面PAD知∠AHE为EH与平面PAD所成线面角 5分
而tan∠AHE＝
故当AH最小即AH⊥PD时EH与平面PAD所成角最大
6分
令AB＝2，则AE＝，此时
∴AH＝
，由平几知识得PA＝2 7分
因为PA⊥平面ABCD，PA
平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC
过O作OS⊥AF于S，连结ES，则∠ESO
为二面角E―AF―C的平面角 9分
在Rt△AOE中，EO＝AE?sin30°＝
，AO＝AE?cos30°＝
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin45°＝
又SE＝
，在Rt△ESO中，cos∠ESO＝
即所求二面角的余弦值为
12分
注：向量法及其它方法可参照给分。
18．⑴P甲＝0.8×0.85＝0.68，P乙＝0.75×0.8＝0.6 3分
⑵随机变量ξ、η的分布列如下：
ξ
5
2.5
η
2.5
1.5
P
0.68
0.32
P
0.6
0.4
Eξ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2，Eη＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1 7分
⑶由题设知
目标函数为z＝xEξ＋yEη＝4.2x＋2.1y 9分
作出可行域（如图）：
作直线l：4.2x＋2.1y＝0，将l向右上方平移到l1位置时
直线经过可行域上的M点与原点距离最大
此时Z＝4.2x＋2.1y取得最大值，又M(4，4)
即x＝y＝4时，z取最大值25.2。 12分
19．⑴由题设及平面几何知识得
∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线右支由
，
∴b2＝c2－a2＝5，故所求P点的轨迹方程为
3分
⑵易知直线x?my?3＝0恒过双曲线焦点B(3，0)
设该直线与双曲线右支相交于D(xD，yD)，E(xE，yE)由双曲线第二定义知
，又a＝2，c＝3，
∴e＝则
5分
由|DE|＝5，得
，从而易知仅当m＝0时，
满足|DE|＝5
故所求m＝0 7分
⑶设P(x，y)，P1(x1、y1)，P2(x2、y2)且P分有向线段
所成的比为λ，则
，
又点P(x，y)在双曲线
上，∴
，化简得
，
又
，
，∴
9分
令
∵
在
上单减，在
上单增，
又
∴在
上单减，在
上单增，∴umin＝u(1)＝4，
又
，
∴umin＝
故
的最小值为9，最大值为
。
20．⑴由已知，对于n∈N＋总有
①，∴
②
①－②得
∴
∵an＞0，∴
∴数列
是公差为1的等差数列
又n＝1时，
，解得a1＝1，∴an＝n(n∈N＋)。 4分
⑵证明：∵an＝n，则对任意
和
，总有
6分
∴
8分
⑶解：由已知
，
，
，
易得c1＜c2，c2＞c3＞c4＞…猜想n≥2时，
是单调递减数列 10分
令
，则
∴当x≥3时，f’ (x)<0，故在
内f (x)单减 12分
由an＋1＝(cn)n＋1知
∴n≥2时，
是单减数列，即{cn}是单减数列，又c1<c2
∴{cn}中最大项为
21．⑴
3分
故当x∈(0，1)时
＞0，x∈(1，＋∞)时
＜0
所以
在(0，1)单增，在(1，＋∞)单减 5分
由此知在(0，＋∞)内的极大值为
＝ln2，没有极小值 6分
⑵(i)当a≤0时，由于
故关于x的不等式
的解集为(0，＋∞) 10分
(ii)当a＞0时，由
知
其中n为正整数，且有
又n≥2时，
且
取整数no满足no＞－log2(e
－1)，no＞
且no≥2
即
即当a＞0时，关于x的不等式的解集不是(0，＋∞) 13分
综合(i)、(ii)知，存在a使得关于x的不等式的解集为(0，＋∞)且a的取值范围为(－∞，0]
法二：
注：事实上，注意到
定义域为(0，＋∞)，只须求之下限
结合(1)，并计算得
故所求a值存在，其范围是(－∞，0]
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