19． 解法一:(Ⅰ)取中点.连结． 为正三角形.． 正三棱柱中.平面平面. 平面． 连结.在正方形中.分别为 的中点. . ． 在正方形中.. 平面． ---------4分 (Ⅱ)设与交于点.在平面中.作于.连结.由(Ⅰ)得平面． . 为二面角的平面角． 在中.由等面积法可求得. 又. ． 所以二面角的大小为．--------8分 (Ⅲ)中..． 在正三棱柱中.到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由得. ． 点到平面的距离为．-------------12分 解法二:(Ⅰ)取中点.连结． 为正三角形.． 在正三棱柱中.平面平面. 平面． 取中点.以为原点...的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.则..... ..． .. .． 平面．------4分 (Ⅱ)设平面的法向量为． .． .. 令得为平面的一个法向量． 由(Ⅰ)知平面. 为平面的法向量． 二面角的大小为．------------8分 .为平面法向量. ． ∴点到平面的距离． ----12分 【
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