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    21．本题有三个选答题.每题7分.请考生任选2题作答.满分14分.如果多做.则按所做的前两题记分.选修4―2,矩阵与变换选做题 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    本题有⑴、⑵、⑶三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
    （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成，求矩阵M。
    （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
    过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值。
    （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
    已知实数满足，，试确定的最大值。

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    本题有⑴、⑵、⑶三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．

    （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换

    已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成，求矩阵M。

    （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

    过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值。

    （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

    已知实数满足，，试确定的最大值。

     

     

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    本题有⑴、⑵、⑶三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
    （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
    已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点变换成，求矩阵M。
    （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
    过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值。
    （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
    已知实数满足，，试确定的最大值。

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    本题有（1）、（2）、（3）三个小题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分
    （1）已知
    10
    12
    B=
    -43
    4-1
    ，求矩阵B．
    （2）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若曲线C1的极坐标方程为：ρcos(θ-
    π
    4
    )=
    		2
    ，曲线C2的参数方程为：
    x=2cosθ
    y=
    		3
    sinθ
    （θ为参数），试求曲线C1、C2的交点的直角坐标．
    （3）已知x2+2y2+3z2=
    18
    17
    ，求3x+2y+z的最小值．

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    本题有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分
    （1）二阶矩阵M对应的变换将向量
    1
    -1
    ，
    -2
    1
    分别变换成向量
    3
    -2
    ，
    -2
    1
    ，直线l在M的变换下所得到的直线l′的方程是2x-y-1=0，求直线l的方程．
    （2）过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线l和曲线C：
    x=s+
    1
    s
    y=s-
    1
    s
    （s为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．
    （3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

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    说明：

        一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

    果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细

    则。

        二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程

    度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答

    有较严重的错误，就不再给分。

        三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

        四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

    一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。

    1．A   2．A   3．B   4．C   5．B   6．B   7．C   8．D   9．C   10．D

    二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。

    11．     12．60      13．-540    14．    15．820

    三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

    16．本小题主要考察概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算

    能力。满分13分。

    （I）、同奇的取法有种，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分

    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    （Ⅱ），

    ??????????????????????? 10分

    其分布列为

    1

    2

    3

    4

    5

    ????????????????????????????????????? 13分

    17．本小题主要考察直线与平面的位置关系，二面角的大小，体积的计算等知识，考察空间

    想象能力、逻辑思维能力和运算能力，满分13分。

    （I）连结BD，由已知得BD=2，

    在正三角形BCD中，BE=EC，

    ，又，

    …………………………2分

    又平面，

    ，…………………………3分

    ，

    平面PAD。……………………4分

    （Ⅱ），

    且，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    ??????????????????????????????????? 8分

    （Ⅲ）证法一：如图建立空间直角坐标系，

    则由（I）知平面的一个法向量为

    ，

    设平面PBC的法向量为，

    由

    取得???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

    ?????????????????????????????????????????????????? 12分

    平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为??????????????????????? 13分

    证法二：由（I）知平面平面，

    平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

    又

    平面又平面

    平面平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

    就是平面与平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分

    在中，

    ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

     

    18．本小题主要考察两角和差公式，二倍角公式，同角三角函数关系，解斜三角形的基本知

    识以及推理能力、运算能力和应用能力，满分13分。

    解：在中，

    ????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    化简得：

            ???????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    所以

    ????????????????????????? 6分

    ???????????????????? 8分

    即???????????????????????????????????????????????????????? 10分

    所以当即时，=???????????????????????????????????? 12分

    答：当时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。?????????????????????????? 13分

     

    19．本题主要考查直线、椭圆、向量等基础知识，考查曲线方程的求法以及研究曲线的定性

    定量的基本方法，考查运算能力、探究能力和综合解题能力，满分13分。

    解：（I）设椭圆E的方程为

    由已知得：

    ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    椭圆E的方程为??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    （Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：

    ????????????????????????????????????????????????? 5分

     

    ①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则

    由

    得

    ???????????????????????????????????????????????????????? 7分

    所以

                ????????????????????????????????????????????? 9分

    对于任意的值，为定值，

    所以，得，

    所以；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分

    ②当直线的斜率不存在时，直线

    由得

    综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为。????????????????????????????? 13分

    法二：假设存在符合条件的点，又设则：

             =????????????????????????????????????????????????? 5分

    ①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

    由

    得

    ?????????????????????????????????????????????????????????? 7分

               ????????????????????????????????????????????????? 9分

    设则

    ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

    ②当直线的斜率为0时，直线，由得：

    综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为???????????????????????????????? 13分

    20．本题考查函数、导数、数列的基本知识及其应用等知识，考查化归的数学思想方法以及

    推理和运算能力。考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分。

    解：（I）

                 ?????????????????????????????????????????? 2分

    由已知得：

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    （Ⅱ）方法一：由（I）得

    在上为单调增函数，则恒成立，

    即对恒成立。

    即对恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分

    令，

    ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9

    方法二：同方法一。

    令

    当时，在单调递增，

    ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

    （Ⅲ）方法一：

              ?????????????????????????????????????????????????????? 10分

    当时，，

    当时，，??????????????????????????????????????????????? 12分

    …

    根据题意可知??????????????????????????????????????? 14分

    方法二：同方法一，

    ???????????????????????????????????????? 10分

    当时，

    当时，???????????????????????????????????????????????????? 12分

    …

    根据题意可知??????????????????????????????????????? 14分

    方法三：设是数列中的最大项，则

    ??????????????????????????? 12分

    为最大项，

    所以?????????????????????????????????????????????????? 14分

    以下同上

     

    21．本题考查，本题满分14分

    （I）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化

    归与转化思想，满分7分。

    解：

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

    ，即???????????????????????????????????????????????????????? 4分

    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    曲线的方程为??????????????????????????????????????????????????????????? 7分

    （Ⅱ）本题主要考查直线和圆的极坐标方程，考查运算求解能力及化归与转化思想，满分7

    分。

    解：

    即???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

    圆心的坐标为??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

    ，即???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    圆心到直线的距离为1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

    （Ⅲ）本题主要考查利用常见不等式求条件最值，考查化归与转化思想，满分7分

    解：

    ????????????????????????????????????????? 3分

    ?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

    当且仅当即时取到“=”号，

    当时的最小值为??????????????????????????????? 7分

     

     


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