题目列表(包括答案和解析)
曲线
在矩阵
的变换作用下得到曲线
．
（Ⅰ）求矩阵
；
（Ⅱ）求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．
若点
在矩阵
对应变换的作用下得到的点为
，（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵;
（Ⅱ）求曲线C：x2+y2=1在矩阵N=
所对应变换的作用下得到的新的曲线C'的方程.
曲线
在矩阵
的变换作用下得到曲线
．
（Ⅰ）求矩阵
；
（Ⅱ）求矩阵的特征值及对应的一个特征向量．
在矩阵
的变换作用下得到曲线
．
；的特征值及对应的一个特征向量．
在矩阵
对应变换的作用下得到的点为
，（Ⅰ）求矩阵
的逆矩阵;
所对应变换的作用下得到的新的曲线C'的方程.说明：
一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细
则。
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程
度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分。
1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．D 9．C 10．D
二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分。
11．
12．60 13．-540 14．
15．820
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16．本小题主要考察概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算
能力。满分13分。
（I）
、
同奇的取法有
种，同偶的取法有?????????????????????????????????????? 2分
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）
，
??????????????????????? 10分
其分布列为
1
2
3
4
5
????????????????????????????????????? 13分
17．本小题主要考察直线与平面的位置关系，二面角的大小，体积的计算等知识，考察空间
想象能力、逻辑思维能力和运算能力，满分13分。
（I）连结BD，由已知得BD=2，
在正三角形BCD中，BE=EC，
，又
，
…………………………2分
又
平面
，
，…………………………3分
，
平面PAD。……………………4分
（Ⅱ）
，
且
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
??????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）证法一：如图建立空间直角坐标系
，
则由（I）知平面
的一个法向量为
，
设平面PBC的法向量为
，
由
取
得
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
?????????????????????????????????????????????????? 12分
平面PAD与平面PBC所成的锐二面角大小的余弦值为
??????????????????????? 13分
证法二：由（I）知
平面
平面
，
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
又
平面
又
平面
平面
平面???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
就是平面与平面所成二面角的平面角???????????????????????????? 11分
在
中，
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
18．本小题主要考察两角和差公式，二倍角公式，同角三角函数关系，解斜三角形的基本知
识以及推理能力、运算能力和应用能力，满分13分。
解：在
中，
????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
化简得：
???????????????????????????????????????????????????????????? 4分
所以
????????????????????????? 6分
???????????????????? 8分
即
???????????????????????????????????????????????????????? 10分
所以当
即
时，
=
???????????????????????????????????? 12分
答：当
时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。?????????????????????????? 13分
19．本题主要考查直线、椭圆、向量等基础知识，考查曲线方程的求法以及研究曲线的定性
定量的基本方法，考查运算能力、探究能力和综合解题能力，满分13分。
解：（I）设椭圆E的方程为
由已知得：
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
椭圆E的方程为
??????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的点
，又设
，则：
????????????????????????????????????????????????? 5分
①当直线
的斜率存在时，设直线的方程为：
，则
由
得
???????????????????????????????????????????????????????? 7分
所以
????????????????????????????????????????????? 9分
对于任意的
值，
为定值，
所以
，得
，
所以
；??????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②当直线的斜率不存在时，直线
由得
综上述①②知，符合条件的点
存在，起坐标为
。????????????????????????????? 13分
法二：假设存在符合条件的点，又设
则：
=
????????????????????????????????????????????????? 5分
①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为
，
由
得
?????????????????????????????????????????????????????????? 7分
????????????????????????????????????????????????? 9分
设
则
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
②当直线的斜率为0时，直线
，由
得：
综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为???????????????????????????????? 13分
20．本题考查函数、导数、数列的基本知识及其应用等知识，考查化归的数学思想方法以及
推理和运算能力。考查运用数学知识分析和解决问题的能力，满分14分。
解：（I）
?????????????????????????????????????????? 2分
由已知得：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）方法一：由（I）得
在
上为单调增函数，则
恒成立，
即
对
恒成立。
即
对恒成立，????????????????????????????????????????????????????????? 7分
令
，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9
方法二：同方法一。
令
当
时
，
在单调递增，
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
（Ⅲ）方法一：
?????????????????????????????????????????????????????? 10分
当
时，
，
当
时，
，??????????????????????????????????????????????? 12分
…
根据题意可知
??????????????????????????????????????? 14分
方法二：同方法一，
???????????????????????????????????????? 10分
当时，
当时，
???????????????????????????????????????????????????? 12分
…
根据题意可知??????????????????????????????????????? 14分
方法三：设
是数列
中的最大项，则
??????????????????????????? 12分
为最大项，
所以?????????????????????????????????????????????????? 14分
以下同上
21．本题考查，本题满分14分
（I）本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化
归与转化思想，满分7分。
解：
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
，即
???????????????????????????????????????????????????????? 4分
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
曲线
的方程为
??????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅱ）本题主要考查直线和圆的极坐标方程，考查运算求解能力及化归与转化思想，满分7
分。
解：
即
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
圆心的坐标为
??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
，即
???????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
圆心到直线的距离为1?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）本题主要考查利用常见不等式求条件最值，考查化归与转化思想，满分7分
解：
????????????????????????????????????????? 3分
?????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
当且仅当
即
时取到“=”号，
当时
的最小值为
??????????????????????????????? 7分
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