已知函数f(x)=x+

t

x

(t＞0)和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM，PN，切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
（1）求证：x₁，x₂是关于x的方程x²+2tx-t=0的两根；
（2）设|MN|=g（t），求函数g（t）；
（3）在（2）的条件下，若在区间[2，16]内总存在m+1个实数a₁，a₂，…，a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+…+g（a_m）＜g（a_m+1）成立，求实数m的最大值．

（2010•成都模拟）已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在x∈[-

3

2

，2]时的最大值H（t）；
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log₂[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围．

设平面向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=0，

x

=

a

+(t2-k)

b

，

y

=-s

a

+t

b

，其中，k，t，s∈R．
（1）若

x

⊥

y

，求函数关系式s=f（t）；
（2）在（1）的条件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）实数k在什么范围内取值时？对该范围内的每一个确定的k值，存在唯一的实数t，使

x

•

y

=2-s．